12. Ситуация равновесия. Седловая точка игры. Седловая точка матрицы выигрышей.

СИТУАЦИЯ РАВНОВЕСИЯ – ситуация (A_i0, B_i0), удовлитворительная для каждого из игроков А и В, т.е. если выполняются неравенства

a_ij0 ≤ a_i0j0 ≤ a_i0j , i=1,…,m, j=1,…,n.

α_i0=a_i0j0=β_j0.

СЕДЛОВАЯ ТОЧКА МАТРИЦЫ ВЫИГРЫШЕЙ – выигрыш a_i0j0, соответствующий ситуации равновесия (A_i0, B_i0), т.е. выигрыш - функции игрока А на аргументе (A_i0, B_i0).

СЕДЛОВАЯ ТОЧКА ИГРЫ – элемент a_{i0j0 ,} который является минимальным в i₀ – й строке и максимальным в j₀ – м столбце.

13. Доказательство теоремы о свойстве равнозначности седловых точек.

Теорема: Если a_i1j1 и a_i2j2 , i₁ , i₂ ε {1,…,m}, j₁ , j₂ ε {1,…,n} – седловые точки, то a_i1j1 = a_i2j2.

Доказательство: т.к. a_i1j1 – седловая точка, то при i₀=i₁, j₀ = j₁, j = j₂, имеем a_i1j1≤ a_i1j2.

т.к. a_i2j2 – седловая точка, то при i₀=i₂, j₀ = j₂, i = i₁, имеем a_i1j2≤a_i2j2.

Из полученных неравенств следует, что a_i1j1≤ a_i2j2.

Аналогичные рассуждения применяем и к седловой точке a_i2j2 сначала, и к a_i1j1 затем. Получаем неравенство a_i2j2 ≤ a_i1j1.

Полученные неравенства доказывают равенство a_i1j1 = a_i2j2.

14. Доказательство теоремы о свойстве взаимозаменяемости седловых точек.

Теорема: Если a_i1j1 и a_i2j2 , i₁ , i₂ ε {1,…,m}, j₁ , j₂ ε {1,…,n} – седловые точки, то a_i1j2 и a_i2j1 тоже седловые точки_.

Доказательство: т.к. a_i1j1 и a_i2j2– седловые точки, то из теоремы о свойстве равнозначности седловых точек следует, что a_i1j1 = a_i2j2. Из этого следует, что α_i1=a_i1j1=a_i2j2=β_j2. А по определению показателя эффективности и показателя неэффективности α_i1 = min a_i1j ≤ a_i1j2 ≤ max a_ij2 = β_j2.

Из этих равенства и неравенства следует, что α_i1 = a_i1j2 = β_j2.

Из этого следует, что a_i1j2 – седловая точка.

Аналогично доказывается то, что a_i2j1 – седловая точка (через равенство α_i2=a_i2j2=a_i1j1=β_j1)_.

15. Стратегии, оптимальные во множестве чистых стратегий. Полное (общее) и частное решение игры в чистых стратегиях.

ОПТИМАЛЬНЫЕ ВО МН-ВЕ ЧИСТЫХ СТРАТЕГИЙ СТРАТЕГИИ – стратегии A_i0 и B_j0 игроков A и B, которые создают равновесную ситуацию (A_i0,B_j0) (соответствующие седловой точке a_i0j0.

ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ИГРЫ В ЧИСТЫХ СТРАТЕГИЯХ – совокупность {S_A^CO , S_В^CO , фи} множеств S_A^CO и S_В^CO чистых оптимальных стратегий игроков А и В и цены игры фи.

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ИГРЫ В ЧИСТЫХ СТРАТЕГИЯХ – совокупность пары чистых оптимальных стратегий A_i0 и B_j0 и цены игры фи.

16. Соотношения между множествами оптимальных, максиминных и минимаксных стратегий. Доказательство.

Соотношения между множествами оптимальных стратегий каждого игрока, с одной стороны, и множествами максиминных стратегий игрока А и минимаксных стратегий игрока В, с другой стороны, устанавливается теоремой, которая гласит о нескольких утверждениях:

1. Каждая оптимальная стратегий игрока А является его максиминной стратегией, а каждая оптимальная стратегия игрока В является его минимаксной стратегией.

2. В игре без седловых точек ни одна из максиминных и минимаксных стратегий не является оптимальной, т.к. в этой игре вообще нет оптимальных стратегий.

3. В игре с седловыми точками каждая максиминная и каждая минимаксная стратегии соответственно игроков А и В являются оптимальными.

Другими словами, в игре с седловыми точками множество оптимальных стратегий игрока А совпадает с множеством его максиминных стратегий: S_A^CO=S_A^{C max min}, а множество оптимальных стратегий игрока В совпадает с множеством его минимаксных стратегий: S_В^CO=S_В^{C min max}. В игре без седловых точек ни у одного из игроков оптимальных стратегий нет: S_A^C=S_В^C=пустое множество , хотя максиминные стратегии игрока А и минимаксные стратегии игрока В всегда существуют: S_A^{C max min} ≠ пустое множество, S_В^{C max min}≠ пустое множество.

Доказательство: докажем 1 утверждение. Пусть А_i0 и B_j0 – оптимальные стратегии соответственно игроков А и В. По определению оптимальных стратегий a_i0j0 – cедловая точка. Значит, α ≥ α_i0 = a_i0j0 = β_j0 ≥ β. α≤β. Значит, α = α_i0 и β = β_j0. Из первого равенства следует, что стратегия A_i0 – максиминная стратегия, а из второго, что B_j0 – минимаксная.

2 утверждение очевидно.

Докажем 3 утверждение. Пусть a_i0j0 – cедловая точка, A_i1 – максиминная стратегия игрока А, В_j1 – минимаксная стратегия В.

Из максиминности стратегии A_i1 следует, что α = α_i1. А из минимаксности В_j1 β = β_j1. Следовательно, α = α_i1 = min a_i1j ≤ a_i1j1 ≤ max a_ij1 = β_j1 = β.

А т.к. существует седловая точка a_i0j0 , то α=β. Следовательно, α=a_i1j1=β.

Следовательно, a_i1j1 – седловая точка. Следовательно, A_i1 и B_j1 – оптимальные стратегии.