6. Максиминный принцип игры

Рассмотрим матричную т × п - игру с игроками А и В, в кото­рой игрок А обладает т чистыми стратегиями ={А₁, ..., А_т}, a игрок В - п чистыми стратегиями ={В₁, ..., В_п}. Значения функции выигрыша игрока A обозначим через а_ij, т. е. F_A(i, j) = а_ij, и тогда матрица игры будет иметь вид

Bj A A= i	B1	B2	…	B (1) n
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

Перед игроком А стоит задача выбора чистой стратегии из множества , эффективной в определенном смысле, в результате применения которой он получит максимально возможный гарантированный выигрыш. Если игрок А выбрал стратегию А_i (i =1, …, m),, то его выигрышем может быть один из выигрышей

а_i1, а_i2, …, а_in,

расположенных в i-й строке матрицы выигрышей, в зависимости от выбранной игроком В стратегии. Предполагая поведение игрока А крайне осмотрительным, необходимо считать, что игрок В сыграет наилучшим для себя образом и на выбор игроком А стратегии А_i выберет ту стратегию B_j, при которой выигрыш игрока А окажется минимальным. Обозначим минимальный среди выигрышей а_i1, а_i2, …, а_in через α_i:

и назовем его показателем эффективности стратегии А_i. Продолжая действовать разумно, игрок А должен выбрать ту стратегию, которая максимизирует показатель эффективности, т.е. для которой число α_i максимально. Если обозначить это максимальное число через α:

то по формуле

Описанный принцип выбора эффективной стратегии игроком А называется максиминным принципом, а выигрыш α - максимином.

Пусть игрок А выбрал максиминную стратегию а игрок В - какую-то произвольную стратегию B_l, l = 1, ..., п. Тогда в создавшейся ситуации ( B_l) выигрыш игрока А в чистых стратегиях будет для которого в силу равенств и будет справедливо неравенство

Это неравенство означает, что если игрок А в игре будет следовать максиминной стратегии, то ему при любой игре противника В гарантирован выигрыш в чистых стратегиях, не меньший максимина α.

7. Минимаксный принцип игры

Рассмотрим матричную т × п - игру с игроками А и В, в кото­рой игрок А обладает т чистыми стратегиями ={А₁, ..., А_т}, a игрок В - п чистыми стратегиями ={В₁, ..., В_п}. Значения функции выигрыша игрока A обозначим через а_ij, т. е. F_A(i, j) = а_ij, и тогда матрица игры будет иметь вид

Bj A A= i	B1	B2	…	B (1) n
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

Рассмотрим игру с точки зрения игрока В, который стремится минимизировать выигрыш игрока А, исходя из посылки, что игрок А играет наилучшим для себя и наихудшим для игрока В образом. Если игрок В выберет стратегию , то выигрышем игрока А может быть один из

а_1j, а_2j, …, а_mj, (1)

выигрышей, стоящих в j-м столбце матрицы выигрышей, в зависимости от того, какой стратегии будет придерживаться игрок А. Но так как игрок В предполагает, что игрок А играет наилучшим для себя образом, то выигрышем игрока А будет максимальное из чисел (1); обозначим его через β_j:

и назовем показателем неэффективности стратегии В_j. Таким образом, для любой стратегии B_j игрока В наибольший его проигрыш равен β_j. В интересах игрока В - выбрать стратегию с минимальным показателем неэффективности. Наименьшее из чисел (2) обозначим β:

Отсюда в силу формулы (2) получим для β выражение:

Критерий выбора эффективной стратегии для игрока В называется минимаксным принципом, а выигрыш β называется минимаксом.