32. Доказательство теоремы о геометрической интерпретации множества стратегий игрока а, оптимальных во множестве смешанных стратегий.

Смешанная стратегия игрока - стратегия игрока, состоящая в случайном выборе им 1 из своих чистых стратегий с определенной вероятностью;

Смешанная стратегия – линейная комбинация чистых стратегий с коэффициентами, равными вероятностям чистых стратегий, поэтому смешанную стратегию, например, игрока А, имеющего m чистых стратегий, можно представить m-мерным вектором

Правая часть равенства является выпуклой комбинацией орт А₁,...,А_m и потому мн-во S_A всех смешанных стратегий геометрически представляет собой фундаментальный (m-1)-мерный симплекс с m вершинами в точках А₁,...,А_m, пред­ставляющих чистые стратегии (выпуклая оболочка, натянутая на чистые стратегии).

Например, при m = 1 игрок А обладает одной чистой страте­гией A₁ и потому смешанная стратегия совпадает с чистой. Таким образом, мн-во смешанных стратегий состоит из единст­венного элемента А₁ : S_A= ={А₁} - и представляет собой 0-мерный симплекс, состоящий из единственной точки - верши­ны А₁. (Рис. 1)

При m = 2 игрок А имеет 2 чистые стратегии: ={А₁, А₂}, а мн-во S_A смешанных стратегий есть 1-мерный симплекс с двумя вершинами А₁ и А₂, представляющий собой отрезок с концами А₁, и А₂. (Рис. 2)

При m = 3 у игрока А 3 чистые стратегии: ={А₁, А₂, А₃}; мн-во S_A смешанных стратегий является 2-мерным симплек­сом с вершинами А₁, А₂, А₃, представляющим собой плоский правильный треугольник А₁ А₂ А₃. (Рис. 3)

p₂

При m = 4 множество смешанных стратегий S_A есть 3-мерный симплекс с четырьмя вершинами А₁ А₂, А₃, А₄, представляю­щий собой правильный тетраэдр. (Рис. 4)

33.Доказательство теоремы о геометрической интерпретации множества стратегий игрока , оптимальных во множестве смешанных стратегий.

Смешанная стратегия игрока - стратегия игрока, состоящая в случайном выборе им 1 из своих чистых стратегий с определенной вероятностью;

Смешанная стратегия – линейная комбинация чистых стратегий с коэффициентами, равными вероятностям чистых стратегий, поэтому смешанную стратегию, например, игрока В, имеющего m чистых стратегий, можно представить n-мерным вектором

Правая часть равенства является выпуклой комбинацией орт B₁,...,B_n и потому мн-во S_B всех смешанных стратегий геометрически представляет собой фундаментальный (n-1)-мерный симплекс с n вершинами в точках B₁,...,B_n, пред­ставляющих чистые стратегии (выпуклая оболочка, натянутая на чистые стратегии).

Например, при n = 1 игрок B обладает одной чистой страте­гией B₁ и потому смешанная стратегия совпадает с чистой. Таким образом, мн-во смешанных стратегий состоит из единст­венного элемента B₁ : S_B= ={B₁} - и представляет собой 0-мерный симплекс, состоящий из единственной точки - верши­ны B₁. (Рис. 1)

При n = 2 игрок B имеет 2 чистые стратегии: ={B₁, B₂}, а мн-во S_B смешанных стратегий есть 1-мерный симплекс с двумя вершинами B₁ и B₂, представляющий собой отрезок с концами B₁, и B₂. (Рис. 2)

При n = 3 у игрока B 3 чистые стратегии: ={B₁, B₂, B₃}; мн-во S_B смешанных стратегий является 2-мерным симплек­сом с вершинами B₁, B₂, B₃, представляющим собой плоский правильный треугольник B₁ B₂ B₃. (Рис. 3)

p₂

(Вместо буквы А, на рисунках, буква В)

При n = 4 множество смешанных стратегий S_B есть 3-мерный симплекс с четырьмя вершинами B₁ ,B₂, B₃, B₄, представляю­щий собой правильный тетраэдр. (Рис. 4)

34.Доказательство в терминах множеств смешанных стратегий игроков и критерия того, что число - цена игры в смешанных стратегиях, а и - стратегии, оптимальные во множестве смешанных стратегий соответственно игроков и .

Цена игры в смешанных стратегиях – общее значение нижней и верхней цены игры в смеш.стратегиях: Если верхняя и нижняя цены игры в смешанных стратегиях совпадают, то их общее значение называется ценой игры в смешанных стратегиях, а стратегии Р и Q будут оптимальными стратегиями.

V= относительно которых доказано, что они всегда существуют и равны.

Нижняя цена: (максимин) (макс из пок-лей эфф-ти)

Верхняя цена игры: (минимакс) (мин из пок-лей неэф-ти)

Оптимальные смешанные стратегии Р^О и Q^O игроков А и В – при которых выполняется условие v= свойство: если один игрок придерживается своей оптимальной стратегии, то второму невыгодно отклонятся от свой оптимальной стратегии. Т.е. цена игры в смешанных стратегиях V не меньше нижней цены игры в чистых стратегиях и не больше верхней цены игры в чистых стратегиях.

Полное решение игр в смешанных стратегиях - совокупность оптимальных смешанных стратегий игроков и цены игры {

Любая пара оптимальных стратегий P, Q и цены игры V образуют частное решение в смешанных стратегиях. { при условии, что ;

35. Доказательство в терминах множеств чистых стратегий игроков и критерия того, что число - цена игры в смешанных стратегиях, а и - стратегии, оптимальные во множестве смешанных стратегий соответственно игроков и .

Теорема. Нижняя цена игры α и верхняя цена игры β в чистых стратегиях, нижняя цена игры и верхняя цена игры в смешанных стратегиях удовлетворяют следующим неравенствам:

Начнем доказательство с неравенства . По определению нижней цены игры в смешанных стратегиях . Здесь правая часть не зависит от Р и потому это неравенство остается верным и для Р=Аi, i=1…m. Так как полученное равенство будет справедливым в частности для того номера i, который максмизирует показатель эффективности , Доказано.

Докажем второе неравенство . Для любых Р принадлежащих Sa и Q принадлежащих Sb имеем:

Так как утверждение справедливо для любых Р принадлежащих Sa и Q принадлежащих Sb, то

Докажем третью часть . . Это также верно и для чистых стратегий Q=Bj, j=1,…,n игрока В . Следовательно, ч.т.д.

36. Доказательство в терминах седловых точек выигрыш-функции критерия того, что число V - цена игры в смешанных стратегиях, а P⁰ и Q⁰ - стратегии, оптимальные во множестве смешанных стратегий соответственно игроков A и B.

Для того чтобы V было ценой игры, а Р° и Q^o — оптимальными стратегиями соответственно игроков А и В,

необходимо и достаточно, чтобы (Р°, Q°) была седловой точкой выигрыш-функции Н(Р, Q) и Н(Р°, Q°) = V.

Множество номеров i ∈ {1,2,…,m}, для которых p_i> 0, называется спектром смешанной стратегии Р={р₁,р₂,…, р_m) и обозначается supp Р.

Таким образом,

supp Р = {i∈{1,2,..., m):р_i>0}

Чистая стратегия A_i- называется пассивной или активной относительно смешанной оптимальной стратегии Р° = (р₁^O,р₂^O,..., р_m^O)в зависимости от того, i не ∈supp Р° или i∈supp Р°, т.е. в зависимости от того, p_i⁰ = 0 или р_i⁰> 0.