Вопрос 41 Дифференциал функции
Итак,
график дифференцируемой функции в
окрестности каждой своей точки сколь
угодно близко приближается к графику
касательной в силу равенства: 
где
α – бесконечно малая в окрестности 
функция.
Для приближенного вычисления значения
функции f в
точке x0 + Δx эту
бесконечно малую функцию можно отбросить:
|
Линейную
функцию 
называют дифференциалом
функции f в
точке
и
обозначают df.
Для функции xпроизводная
в каждой точке
равна 1,
то есть 
Поэтому
пишут:
|
Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом:
|
Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.
|
Модель 3.3. Дифференциал функции. |
Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.
Связь между производной и дифференциалом
Теорема 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она имеет дифференциал.
Доказательство. Функция 
-
дифференцируема в точке х0,
.
По теореме о связи предела и б.м. функции:
,
где 
- б.м.
функция при 
.
Умножим обе части на х:
,
-
б.м. функция более высокого порядка,
чем х.
.
Следовательно,
функция имеет дифференциал и 
.
Теорема 2. Если функция имеет дифференциал в некоторой точке, то она имеет производную в этой точке.
Доказательство. Пусть
функция имеет дифференциал 
. Тогда
.
Разделим обе части на х:
.
Переходя к пределу при , получим
.
Таким образом, функция имеет производную и .
Из этих теорем следует, что .
Правила дифференцирования
Ключевые слова: дифференцируемая функция, свойство предела произведения, дифференцируема в точке
Если
функции f и g дифференцируемы
в точке x0 то
в этой же точке дифференцируемы сумма,
произведение и частное (если g
(x0)
=0)
этих функций, причем
(f+g) =f +g
(f
g)
=f
g+f
g
(fg) =g2f
g−f
g
Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной: (Cf)' = Cf'. В частности, С'=0
Если f дифференцируема, то fn где n
N также
дифференцируема, причем (fn)
=nfn−1f
Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки x0 причемf (x0) =0, то функция x =
(y),обратная
к функции y
= f (x),
дифференцируема в точке y0 = f (x0),
причем
(x0)=1f
(x0).Если функции y = f (x) и z = g (y) дифференцируемы в точках x0 и y0 = f (x0)соответственно, то сложная функция z = g ( f (x)) дифференцируема в точке x 0, причемz (x0)=g (y0) f (x0).
Дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид dy=f (x)dx как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного.
Если f (x) – четная функция, то f (x) – нечетная; если f (x ) – нечетная функция, то f (x)– четная.
Пусть в окрестности точки t 0 определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго монотонна. Пусть в этой окрестности существуют производные x (t0) =0 и y (t0) Тогда сложная функция y = y ( t ( x )), где t ( x ) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x , причем dxdy=x (t)y (t).