44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям

Из определения дифференциала функции z=ƒ (х; у) следует, что при достаточно малых |Δх| и |Δу| имеет место приближенное равенство

Так как полное приращение Δz=ƒ(х+Δх;у+Δу)-ƒ(х;у), равенство (44.6) можно переписать в следующем виде:

Формулой (44.7) пользуются в приближенных расчетах.

«49» Достаточные условия дифференцируемости функции

Пусть функция z=f(x,y) в некоторой окрестности точки М(х,у)имеет частные производные , и ,которые непрерывны в самой точке М. Тогда функция z=f(x,y) дифференцируема в этой точке

Опр. Функция, имеющая в некоторой точке непрерывные частные производные, называется непрерывно дифференцируемой в этой точке.

«50»Дифференциал сложной функции двух переменных

Понятие сложной функции

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x₀, y₀) . Пусть ее аргументы x и y в свою очередь являются функциями x = x(t) , y = y(t) и определены в некоторой окрестности точки t₀ , причем x(t₀) = x₀ , y(t₀) = y₀ .

Тогда в окрестности точки t₀ определена сложная функция аргумента t

z = f(x(t), y(t)).

Аналогично определяется сложные функции любого числа переменных.

Например, если x и y — функции 2–х переменных: x = x(u,v) и y = y(u,v) , то функция z = f(x,y) является сложной функцией двух переменных u и v :

z = f(x(u,v), y(u,v)).

Пусть функция z = f(x,y), имеет в точке М₀(х₀,у₀) частные производные f ^/_x (х₀,у₀) и f ^/_у (х₀,у₀).

Определение. Полным приращением функции z = f(x,y) в точке М₀(х₀,у₀) называется разность

 

Пусть приращение функции z =f(x,y) можно представить в виде

где , то функция называется дифференцируемой в точке M ₀ (х₀,у₀).

О. Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется главная часть полного приращения     , линейная относительно приращений её аргументов  . Полный дифференциал функции (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов и вычисляется по формуле:

При достаточно малых (по абсолютному значению) приращениях аргументов, полное приращение функции можно с как угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным дифференциалом. Дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у совпадают с их приращениями соответственно     . Таким образом,

«51»Экстремум функции многих переменных. Необходимые условия экстремума.

Определение. Пусть функция z=f(x,y) определена в точке (a,b) и в некоторой ее окружности.

Функция f(x,y) имеет максимум в точке ( a, b) , если значений f(a , b) не меньше значений функции f(x,y), для некоторой окружности точки (a , b) ,то есть f(x,y) f(a , b)

Аналогично min точки ( a, b) , если f(x,y) f(a , b)

Необходимое условие экстремума) Если функция нескольких переменных u = f(x₁, x₂, … , x_n) имеет экстремум в некоторой точке, то в этой точке каждая ее частная производная равна нулю или не существует.

Доказательство для функции двух переменных приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова “Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения”. М.: Изд–во МЭИ, 2002 (стр. 160).

Внутренние точки из области определения функции, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются критическими. Если в критической точке функция дифференцируема, то такая точка называется стационарной.

В стационарной точке   (x₀, y₀) функции f(x, y) существуют частные производные f'_x ,   f'_y   и   f'_x(x₀, y₀) = 0 ,   f'_y(x₀, y₀) = 0