3.2.1. Математическое моделирование при принятии решений

При построении, изучении и применении экономико-математических моделей принятия решений используются различные математические методы, именуемые экономико-математическими. Их можно разделить на несколько групп:

• методы оптимизации;

• методы, учитывающие неопределенность, прежде всего вероятностно-статистические;

• методы построения и анализа имитационных моделей;

• методы анализа конфликтных ситуаций (теории игр).

Во всех этих группах можно выделить статическую и динамическую постановки. При наличии фактора времени используют дифференциальные уравнения и разностные методы.

Математическое программирование – это семейство инструментальных средств, созданных для помощи в процессе решения управленческих задач, при котором лицо, принимающее решения, должно выделить ограниченные ресурсы для различных действий или операций с условием оптимизации измеримой цели. Наиболее известным методом этого семейства инструментов является линейное программирование. Оно широко используется в информационных системах поддержки руководителя (ИСПР) и имеет много важных практических приложений, например решение задачи распределения (ресурсов или времени).

Задачи распределения, решаемые на основе линейного программирования, обычно отражают следующие характеристики:

• для распределения доступно ограниченное количество ресурсов;

• ресурсы используются в производстве продукции или услуг;

• существует два или  более путей использования ресурсов, каждый из которых называется решением или программой;

• распределение обычно ограничивается несколькими доступными пределами и требованиями, называемыми ограничениями.

Модель распределения линейного программирования основывается на следующих различных экономических допущениях:

• отдача или доходность при различных вариантах распределения могут сравниваться, т.е. они могут быть измерены в общих единицах (например, денежных);

• отдача от одного распределения независима от других распределений;

• общая доходность является суммой доходностей, принесенных различными действиями;

• все исходные данные известны и определены.

Наиболее известны задачи линейного программирования, в которых максимизируемая функция F(X) является линейной, а ограничения А задаются линейными неравенствами.

Пример [4]. Цех может производить стулья и столы. На производство стула идет 5 единиц материала, на производство стола – 20 (футов красного дерева). Трудоемкость изготовления одного стула 10 человеко-часов, стола – 15. Имеется 400 единиц материала и 450 человеко-часов. Прибыль при производстве стула – 45 долларов США, при производстве стола − 80 долларов США. Сколько надо сделать стульев и столов, чтобы получить максимальную прибыль?

Введем обозначения: Х₁ – число изготовленных стульев;

Х₂ – число сделанных столов. Задача оптимизации имеет вид:

45 Х₁ + 80 Х₂ → max;

5 Х₁ + 20 Х₂ ≤ 400;

10 Х₁ + 15 Х₂ ≤ 450;

Х₁ ≥ 0;

Х₂ ≥ 0.

В первой строке выписана целевая функция − прибыль при выпуске Х₁ стульев и Х₂ столов. Ее требуется максимизировать, выбирая оптимальные значения переменных Х₁ и Х₂ . При этом должны быть выполнены ограничения по материалу (вторая строчка) − может быть истрачено не более 400 футов красного дерева, а также и ограничения по труду (третья строчка) − работы выполнялись в течение 450 часов. Кроме того, нельзя забывать, что числа столов и стульев положительны.

В четвертой и пятой строчках задачи и констатируется, что переменные неотрицательны.

Условия производственной задачи можно изобразить на координатной плоскости. По горизонтальной оси абсцисс будем откладывать значения Х₁ , а по вертикальной оси ординат − значения Х₂ .

Х₂

Столы

(0,20)

(24,14)

5 Х₁ + 20 Х₂ = 400

45 Х₁ + 80 Х₂ = 2200

0

Х₁ Стулья

(45,0)

45 Х₁ + 80 Х₂ = 0

10 Х₁ + 15 Х₂ = 450

Рис. 4. Основная идея линейного программирования

Таким образом, множество возможных значений объемов выпуска стульев и столов (Х₁, Х₂) представляет собой выпуклый четырехугольник, показанный на рисунке 4. Три его вершины очевидны − это (0,0), (45,0) и (0,20). Четвертая − это пересечение двух прямых, т. е. решение системы уравнений следующее:

5Х₁ + 20Х₂ = 400;

10Х₁ + 15Х₂ = 450.

Из первого уравнения: 5Х₁ = 400 − 20Х₂; Х₁ = 80 − 4Х₂ . Подставляем во второе уравнение: 10(80 − 4Х₂) + 15Х₂ = 800 − 40Х₂ + 15Х₂ = = 800 − 25Х₂ = 450, следовательно, 25Х₂ = 350, Х₂ = 14. Отсюда Х₁ = 80 − 4×14 = 80 − 56 = 24. Итак, четвертая вершина четырехугольника − это (24, 14).

Основная идея линейного программирования состоит в том, что максимум достигается в вершинах многоугольника. Максимум целевой функции, равный 2200, достигается в вершине (24, 14).

Таким образом, оптимальный выпуск таков: 24 стула и 14 столов. При этом используется весь материал и все трудовые ресурсы, а прибыль равна 2200 долларам США.