5. Усложненная постановка задачи линейного программирования, используемой при проведении планово-аналитической работы (на примере «транспортной» задачи):

а) Открытая модель «транспортной» задачи. б)Решение задач на максимум. в)Ограничение пропускной способности. г)«Транспортная» задача на сети. д)Многоэтапная «транспортная» задача. е)Метод Ордена-Маша.

Ответ: а) Надо различать открытую и закрытую модели транспортной задачи. Т.к. мощности и спросы балансируются далеко не всегда, а некоторые эк. задачи возникают и ставятся в случае их небаланса. Открытая модель транспортной задачи – суммарная мощность поставщиков больше суммарного спроса потребителей или наоборот. Условие будет выглядеть след. образом: при превышении суммы мощностей над суммой спросов а_i >(=)x_ij (i=1,m), при превышении суммы спроса над суммой мощностей b_j>(=) x_ij (j=1,n). Уравнения связи м/у суммарной мощностью поставщиков и суммарным спросом потребителей: a_i>(=)(=)<b_j. F=x_ij*c_ij=min, при a_i >=0, b_j>=0, x_ij>=0. Из уравнения следует, что закрытая модель транспортной задачи явл. частым случаем открытой модели. Наиболее распространенным способом решения открытой модели транспортной задачи заключается в преобразовании матрицы до расчета. При превышении суммарной мощности над суммарным спросом вводится доп. столбец так называемого фиктивного потребителя В_n+1 со спросом равным небалансу, т.е. В_n+1= a_i-b_j. Показатели С_ij в этом столбце выбираются произвольно. Единственное требование к ним они д.б. одинаковыми. Чаще всего в качестве такого показателя берется 0, что удобно при вычислении функционала. По преобразованной таким образом матрице расчет выполняется обычным способом. При превышении суммарного спроса над суммарной мощностью вводится доп. строка фиктивного поставщика с мощностью, равной небалансу, и с одинаковыми по величине показателями C_m+1,i. При решении задач по открытой модели может оказаться так, что необходимо ввести условие о том, что какой-либо поставщик должен дать реальным потребителям не менее некоторого определенного кол-ва продукции. Т.о. фиксируется нижняя граница мощности. Для вышеуказанного поставщика отводится две строки. в первой указывается часть мощности, которая обязательно должна быть распределена, во второй – остальная мощность. Показатели С_ij в обеих строках указываются такими, какие они есть, но в столбце фиктивного потребителя по первой строке указывается число М. Число М должно быть больше любого числа, с которым его придется сравнивать в процессе решения задачи. Т.о. блокируя поставку к фиктивному потребителю, мы уверены, что вся мощность по данной строке прикрепится к реальным потребителям.

б) Решение задач на максимум. естественно решение транспортной задачи на минимум функционала. Однако встречаются случаи, когда целевую функцию надо максимизировать. Трудностей это не представляет, поскольку матрица составляется так же, как обычно. При решении транспортной задачи методом потенциалов перераспределение поставок проводится по цепям, построенным к клеткам с наибольшей положительной характеристикой. оптимальным план будет тогда, когда все хар-ки равны 0. При использовании метода диф. рент нужно отмечать кружками не мин., а максимальные показатели С_ij в столбцах. Разности по столбцам определяются путем вычитания ближайших к ним по величине показателей С_ij. промежуточная рента не прибавляется, а вычитается из показателей С_ij в отрицательных строках.

в) Ограничение пропускной способности. Одним из примеров постановки транс. задачи явл. обязательные поставки, т.е. те поставки, кот. должны войти в оптимальны план, даже если они не будут выгодными. Если при постановке тран. задачи некоторые поставки явл. обязательными, даже если они и невыгодны, то необходимо соответственно уменьшить мощность поставщиков и спрос потребителей на величину этих поставок и решать задачу относительно тех поставок, которые не являются обязательными. неплохо решить задачу в полном объеме, чтобы установить, во что обошлись обязательные поставки, т.е. подсчитать ущерб от них. Существуют ограничения перевозки грузов на ж/д, когда разрешен пропуск не более определенного кол-ва поездов. Или если использовать нес-ко видов транспорта, то может оказаться, что кол-во транспортных средств ограничено. Наиболее простой способ учета ограничений следующий. Пусть имеется задача, в кот. уже есть оптимальный план, и пропускные способности в этой задаче нигде не ограничены. Однако известно, что на участке дороги от поставщика до потребителя пропускная способность по каким-то причинам ограничена, и здесь можно перевезти не более 15 ед. груза. Столбец где есть ограничения, разбивается на два столбца. В первом указывается спрос, равный разности м/у действительным спросом и размером ограничения. Спрос во втором столбце равен ограничению. В первом столбце величина С_ij по строке принимается равной большому числу. Другие С_ij остаются без изменений. Задача решается с помощью обычного алгоритма.

г) «Транспортная» задача на сети. До сих пор рассматривали случай, когда исходные условия представлены в таблице (матрице). Но такая запись условий и соответствующие ей способы решения совсем не обязательны. Естественно изображать условия трансп. задачи непосредственно на карте или карто-схеме, где зафиксированы пункты расположения поставщиков и потребителей, а также дороги между ними. такая запись представляет собой постановку задачи в сетевой форме. С точки зрения методов решения различий м/у транспортной задачей в матричной форме и на сети очень существенны, т.к. эти методы основаны на одних и тех же идеях. Графическое изображение транспортной задачи безусловно наглядное, однако отразить исходные условия и все связи довольно-таки сложно.

Требования к базисному плану: 1) Каждая мощность должна быть распределена, а каждый спрос должен быть удовлетворен. 2) К каждой вершине должна проходить или выходить из нее хотя бы одна стрелка. 3) Общее кол-во стрелок должно равняться кол-ву вершин минус 1. Если кол-во вершин обозначить через n, то кол-во стрелок равно n-1. Кол-во ребер не имеет никакого отношения к кол-ву стрелок. 4) Стрелки не должны образовывать замкнутую цепь, т.е. не должно быть так, что начав движение из какой-либо вершины по стрелке и переходя от одной стрелки к другой (не обращая внимания при этом на направление стрелки), можно было бы вернуться в ту же вершину. Получив базисное распределение проверяем его на оптимальность. Сначала любой произвольно выбранной вершине присваиваем любой произвольно выбранный потенциал (достаточно большой). Затем, двигаясь по стрелкам, вычисляем потенциалы остальных вершин. Если стрелка выходит из вершины, то к потенциалу этой вершины прибавляется показатель С_ij. Если же направление стрелки противоположно, т.е. стрелка выходит в вершину, то показатель С_ij вычитается из потенциала вершины. С помощью потенциалов легко вычисляются значения функционала любого данного плана поставок. Оно равно алгебраической сумме произведений мощностей и спросов на соответствующие им потенциалы.

При решении транспортной задачи на сети так же, как и при матричной постановке, можно столкнуться с проблемами вырождения. Внешне проявляется в том, что при полном удовлетворении мощностей и спросов кол-во стрелок оказывается меньше, чем n-1. Ввести дополнительно нужное кол-во стрелок с нулевыми поставками. Главное, чтобы эта стрелка не образовывала замкнутую цепь.

д) Многоэтапная «транспортная» задача. Наиболее интересна транспортная задача, когда требуется при доставке груза из одних пунктов в другие провезти его ч/з определенные третьи пункты. так называемая многоэтапная задача. Возможны разнообразные варианты постановки задачи с учетом этого требования. Рассмотрим один из них. В пунктах А1,…..Аi,….Аn есть груз. Его надо перевезти на склады в пунктах D1,…Dk,….Dp, а затем доставить потребителям расположенным в пунктах B1,…Bj,…Bm. Требуется найти оптимальную схему перевозок, причем в качестве критерия оптимальности принимается общая сума затрат (объем грузооборота) на доставку груза от поставщиков на склады и со складов потребителям. Если суммарная емкость складов d_k равна суммарной мощности поставщиков и суммарному спросу потребителей d_k=а_i=b_j, то емкость каждого склада будет использоваться полностью, и схема перевозок груза со складов к потребителям не зависит от схемы перевозок груза от поставщиков на склады. При таких условиях задачу можно решить по частям: отдельно рассчитать оптимальные схемы перевозок груза от поставщиков на склады и со складов потребителям. Однако в действительности так не бывает. В большинстве случаев суммарная емкость складов больше суммарной мощности поставщиков или суммарного спроса потребителей: d_k>а_i, d_k>b_j. При разных возможных вариантах использования мощностей складов будет разной и схема перевозок груза.

е) Метод Ордена-Маша. Помимо поставщиков и потребителей в общей матрице приводится также и промежуточные пункты (склады). Для каждого склада отводится отдельная строка, в кот. в качестве мощности указывается емкость этого склада. Кроме того, для каждого склада отводится отдельный столбец, и в нем в качестве спроса также указывается емкость данного склада. Т.о., суммарная мощность складов будет равна их суммарному спросу. Сама матрица состоит из 4 прямоугольных частей (блоков). В первом боке (левом сверху) отражаются связи поставщиков со складами, т.е. показатели С_ij (расстояния или затраты). В правом нижнем блоке указываются реальные показатели С_ij, где отражаются связи м/у складами и потребителями. Это второй блок. Поскольку в задаче прямые перевозки от поставщиков к потребителям, минуя склады, запрещены, то в третьем блоке (верхнем справа) все показатели заблокированы (числа М). Четвертый блок (нижний слева) всегда имеет форму квадрата. Т.к. перевозки со склада на склад бессмысленны, то они блокируются показателями С_ij=М. Но в местах, где отражаются связи склада с самим собой, показатели С_ij принимаются равными нулю. При любом расположении блоков данные нули располагаются по диагонали. Ставя здесь нули, мы разрешаем «идти» сюда поставкам. Но поскольку на самом деле поставки, указанные в этой диагонали (поставки самому себе), фиктивны, то В.А.Маш назвал эту диагональ фиктивной, а сам метод – методом фиктивной диагонали. начинаем распределение с нижнего правого блока, затем заполняем диагональ, после чего переходим к левому верхнему блоку. В данной задаче общее требование о кол-ве кружков в матрице сохраняется. Причем это требование относится к матрице в целом, а не к отдельным блокам. В многоэтапных задачах часто бывают случаи вырождения. Поэтому иногда приходится добавлять 0 поставку. Цепи могут проходить через фиктивную диагональ, но могут располагаться и внутри блоков. Если цепь проходит через фиктивную диагональ, то она пройдет её дважды.