4. Использование оптимизационных моделей в целях экономического анализа и планирования на примере «транспортной» задачи:

а) Общая постановка «транспортной» задачи. б) Методы базисного распределения. в) Способы оптимизации базисного плана распределения (метод потенциалов, метод дифферинциальных рент, метод разрешающих слагаемых).

а) Исходные условия для постановки транспортной задачи заключаются в след. Из ряда пунктов необходимо перевезти груз в нес-ко др. пунктов. известно, сколько груза (тонн) имеется в каждом пункте отправления и сколько его требуется в каждом пункт назначения. известны или могут быть определены расстояния (км) от каждого пункта отправления до каждого пункта назначения. Требуется установить, сколько тонн груза и в какие пункты назначения необходимо перевезти из каждого пункта отправления с тем, чтобы весь груз был доставлен туда, где он требуется, а общий объем транспортировки (в тонно-км) был минимален.

б) Методы базисного распределения.

Базисный план должен быть допустимым и содержать (m+n-1) кружков, причем эти кружки должны располагаться в порядке вычеркиваемой комбинации, но этого все же мало. Необходимо стараться получить базисный план, возможно более близкий к оптимальному, что сократит число интераций при последующем решении задачи.

1. Способ северо-западного угла. Самый нерациональный способ получения базисного плана. Он очень формален и к нему легко составить алгоритм. Но в большинстве случаев способ северо-западного угла приводит к плану поставок, весьма далекому от оптимального.

2. Способ наименьшего элемента в столбце или в строке. Гораздо лучше способ наименьшего элемента по столбцу. Этот способ заключается в том, что поочередно в столбцах матрицы отмечаются кружками минимальные показатели c_ij и в соответствующие клетки заносятся поставки. Если при записи поставок спрос по столбцу удовлетворен не полностью, ищется след. по величине элемент в данном столбце и т.д. И только после того, как спрос будет удовлетворен, переходят к след. столбцу. если в столбце два или более одинаковых элементов, тогда кружочком может быть отмечен любой из них.

3. Способ наименьшего элемента в матрице. Более рациональный рез-т, особенно в крупных матрицах, дает этот способ. Но здесь расчеты требуют большего внимания, чем при других способах.

4. Способ двойного предпочтения. В первом столбце матрицы отыскивается мин. элемент c_ij и проверяется, минимален ли он также в своей строке. Если да то – кружок и в зависимости от соотношения показателей спроса и мощности из последующего рассмотрения исключаются все элементы данного столбца или данной строки. Если же мин. в столбце элемент не я вл. мин. в строке, то переходят к след. столбцу. При этом столбец и строка из дальнейшего рассмотрения не исключаются. В практических расчетах может встретиться матрица, в кот. наблюдается рав-во отдельных показателей мощности отдельным показателям спроса. необходимо дописать недостающее число кружков с нулевыми поставками. при этом нужно следить, чтобы кружки не образовали невычеркиваемую комбинацию.

5. Способ Фогеля. Этот способ гораздо сложнее, чем предыдущие. В большинстве случаев такой способ дает план поставок, самый близкий к оптимальному. Поэтому способ рекомендуется при расчетах вручную по матрицам большого размера. Этот способ наз-ся методом аппроксимации (приближенное выражение к.-л.величин через другие).

6. Способ Лебедева-Тихомирова. Механизм этого способа след. Подсчитываются суммы элементов по всем строкам и столбцам, и каждая такая сумма делится на число элементов в строке (столбце). Получив средние величины элементов по каждой строке и каждому столбцу, каждый элемент матрицы мы вычитаем из сумы средних величин соответствующего столбца и строки. Эти разности наз. коэф. очередности. Записываем поставки сначала в клетки с наибольшими коэф-ми, постепенно распределяя их среди потребителей и формируя базисный план.

в) Способы оптимизации базисного плана распределения (метод потенциалов, метод дифферинциальных рент, метод разрешающих слагаемых).

1. Метод потенциалов. Идея метода потенциалов заключ. в том, что для проверки допустимого плана на оптимальность необходимо определить потенциалы по строкам и столбцам. Для их нахождения необходимо выполнить только одно условие: каждый показатель в кружке должен быть равен алгебраической сумме потенциалов своей строки и своего столбца. Произвольно выбираем потенциал первой строки А1=0. C_ij=U_i+V_j. Вычисление характеристики E_ij= C_ij-(U_i+V_j). Если показатель C_ij< U_i+V_j, то хар-ка отрицательна. Тогда перераспределение поставок по цепи к этой клетке уменьшает функционал на величину хар-ки. И наоборот. Если она равна нулю, значит перераспределение поставок по цепи к этой клетке не изменит значение функционала. К наибольшей хар-ки, кот. уменьшает функционал строи цепь, перераспределяя поставку. И так пока в матрице будут отсутствовать отрицательные хар-ки, тогда план будет оптимален. Если найден оптимальный план и в матрице нет нулевых характеристик, то оптимальный план единственный. если есть нулевая хар-ка, то число оптимальных планов бесконечно велико.

2. Метод диф. рент. Есть группа методов решения транспортной задачи, основанная на на противоположном принципе. При использовании этих методов план с самого начала соответ-т критерию оптимальности, но должен проверяться на допустимость. Если план оказывается недопустимым, т.е. сумма поставок оказывается меньше (больше) суммы мощностей, то постепенно за определенное число интераций план как бы вводится в границы допустимости. Полученый допустимый план явл. оптимальным. первоначальный план, кот. не явл. допустимым, но удовлетворяет критерию оптимальности, считается условно-оптимальным.

Первоначально в методе диф. рент в столбцах отмечаются кружками минимальные показатели C_ij и в кружки заносятся поставки. Если вся продукция окажется распределенной, значит план оптимален. если нет. производим ряд интераций, в ходе кот. матрица показателей C_ij изменяется так, что общее кол-во распределенной продукции постепенно увеличивается. Когда вся продукция будет распределена, тогда процесс заканчивается. Получен искомый оптим. план.

Пример. На первой инетрации в каждом столбце матрицы отмечаем кружком мин. показатель C_ij. Далее распределяем продукцию по кружкам, записывая максимально возможные поставки. Затем определяем небалансы строк. если мощность поставщика распределена не полностью, он считается избыточным, а строка наз. положительной. В последней графе ставится «+» и кол-во избыточной продукции. Если вся мощность распределена, а спрос связанных с ним кружками потребителей удовлетворен не полностью, то этот поставщик считается недостаточным, а строка наз-ся отрицательной. В последней графе ставится минус и указывается, сколько продукции не хватает для удовлетворения спроса потребителей, прикрепленных кружками к данной строке. Далее устанавливаем разность м/у наименьшим по величине показателей C_ij в положительных строках и показателем в кружке данного столбца. выбираем наименьшую разность. Эта разность носит название промежуточной ренты. Далее производим следующ. интерацию и т.д. Таким образом кружков становится больше на один с каждой интерацией. Но есть исключение. если в каждом столбце есть кружки как в положительных, так и в отрицательных строках, то кружок в отрицательной строке необходимо ликвидировать. При этом м.б. три случая: 1) когда кружки вообще не исчезают; 2) исчезает один кружок; 3) исчезает сразу нес-ко кружков. Но в любом случае кол-во их не должно быть меньше числа столбцов, т.к. в каждом столбце остается хотя бы один кружок.

Ренты - числа, которые прибавляются к критериям оптимальности исходной матрицы, чтобы получить показатели C_ij в окончательной матрице.

3. Метод разрешающих слагаемых. Отличается от диф. рент не очень существенно. Так же, как и в алгоритме диф. рент, сначала отмечаем в каждом столбце кружком минимальный показатель C_ij. Отличие – при записи поставок не обращаем внимание на показатели мощности – при первоначальном распределении в каждый кружок записывается поставка, точно равная спросу по этому столбцу. Если небалансы равны 0, то распределение оптимально. Если небаланс отрицательный., то будем называть недостатком, положительный – избытком. если равен 0, то нулевой избыток(недостаток). Сумма избытков д.б. равна сумме недостатков. Определяем разности м/у наименьшими по величине показателями без кружка в положительных строках и показателями в кружке для каждого столбца. Выбираем наименьшую разность. После этого отмечаем в матрице новый кружок прерывистой линией. Далее, чтобы перераспределить поставки строим цепь. Вершинами явл. новый кружок и некоторые старые . Кроме того, вершинами цепи явл. положительный и отрицательный небалансы строк. Цепь незамкнута. Такую цепь можно построить только одну.

В этом методе может появиться сразу два кружка при одной интерации, а может и нес-ко. В данном алгоритме нет кружков с нулевыми поставками, если появляется сразу же ликвидирется!