3.2.3 Понятие о анализе размерности и теории подобия

Основная трудность, возникаю пая при экспериментальном исследовании конвективного теплообмена, заключается в том, что коэффициент теплоотдачи за­висит от многих параметров. Например, средний по поверхности коэффициент теплоотдачи от продольно омываемой пластины (см. рис. 2.6) зависит от длины пластины l, скорости набегающего по­тока w_ж и теплофизических параметров жидкости:

(3.31)

Если проводить эксперименты, изме­няя т раз каждый из шести параметров, влияющих на теплообмен, то суммарное число экспериментов будет N=m⁶, т. е. порядка 10⁶.

Теория показывает, что число пара­метров зависит от набора единиц изме­рения. Наименьшее число параметров получится, если единицы измерения бу­дут связаны с самой решаемой задачей. Так, в качестве единицы длины можно принять не метр, а длину пластины l. Для перевода всех параметров в «но­вую» систему единиц измерения поделим их на l в той же степени, в которой длина входит в их размерность:

(3.32)

Число параметров в правой части уравнения уменьшилось, так как l/l≡1, т. е. мы избавились от того параметра, который приняли за единицу измерения. Если теперь ввести еще три «новых» еди­ницы измерения: для времени l ²/v, для массы р l ³ и, наконец, для отношения тепловой мощности к перепаду темпера­тур λ l (в рассматриваемой системе вели­чин единицы Вт и К раздельно не встре­чаются, а входят лишь в комбинации Вт/К), то в правой части рассматривае­мой зависимости останется всего два безразмерных параметра:

Такие же безразмерные параметры получаются н при анализе теплоотдачи от поверхности трубы, но определяющим размером в них будет не длина l, а диа­метр d, соответственно внутренней - при течении жидкости внутри трубы и наружный — при наружном обтекании одной трубы или пучка труб.

Согласно основной теореме метода анализа размерностей (π-теореме) зави­симость между N размерными величина­ми, определяющими данный процесс, мо­жет быть представлена в виде зависимо­сти между составленными из них N - К безразмерными величинами, где К — число первичных переменных с неза­висимыми размерностями, которые не могут быть получены друг из друга. В уравнении (2.31) общее число пере­менных (включая и α) равно 7, из них четыре первичных (их мы принимали за единицы измерения) соответственно без­размерных чисел в уравнении (2.33) N — К = 7-4 = 3.

Каждый из безразмерных парамет­ров имеет определенный физический смысл. Их принято обозначать первыми буквами фамилий ученых, внесших су­щественный вклад в изучение процессов теплопереноса и гидродинамики, и на­зывать в честь этих ученых.

Число Нуссельта:

представляет собой безразмерный коэф­фициент теплоотдачи.

Число Рейнольдса:

выражает отношение сил инерции (ско­ростного напора) F_и = к силам вяз­кого трения F_𝜇~𝜇w_ж/l.

Безразмерные комплексы обычно не являются точным отношением каких-то сил, а лишь качественно характеризуют их соотношение. В данном случае сила вязкого трения между соседними слоями движущейся в пограничном слое жидко­сти, действующая на единичную площадку, параллельную плоскости у=0, равна по закону Ньютона F_𝜇 = μ(dw/dy). За­меняя производную отношением конеч­ных разностей (dw/dy)≈ w_ж/δ_г, получим, F_𝜇≈ μ w_ж/ δ_г, где δ_г - толщина гидроди­намического пограничного слоя. Прини­мая во внимание, что δ_г ~ l, получаем выражение F_𝜇 ~ μ w_ж /l.

При малых числах Re преобладают силы вязкости и режим течения жидко­сти ламинарной (отдельные струи потока не перемешиваются, двигаясь парал­лельно друг другу, и всякие случайные завихрения быстро затухают под дей­ствием сил вязкости). При турбулентном течении в потоке преобладают силы инерции, поэтому завихрения интенсивно развиваются. При продольном обтекании пластины (см. рис. 3.6) ламинарное тече­ние в пограничном слое нарушается на расстоянии x_кр от лобовой точки, на кото­ром Re_кр= w_жх_кр/v≈5·10⁵.

При течении жидкостей в трубах (см. рис. 3.8) ламинарный режим на ста­билизированном участке наблюдается до Re_кр=wd/v=2300, а при Re>l0⁴ уста­навливается развитый турбулентный ре­жим (здесь d — внутренний диаметр трубы).

Число Прандтля:

состоит из величин, характеризующих теплофизические свойства вещества и по существу само является тенлофнзиче-ской константой вещества. Значение чис­ла Рг приводится в справочниках.

В случае естественной конвекции скорость жидкости вдали от поверхности w_ж = 0 и соответственно Re = 0, но на теплоотдачу будет влиять подъемная сила F_п. Это приведет к появлению друго­го безразмерного параметра — числа Грасгофа:

Оно характеризует отношение подъемной силы, возникающей вследствие теплового расширения жидкости, к силам вязкости.

При исследовании локального тепло­обмена кроме безразмерных чисел в уравнения войдут безразмерные коор­динаты, представляющие собой отноше­ние обычных координат к определяюще­му размеру. Для продольно омываемой пластины это будет Х = х/l.

Основная сложность метода анализа размерностей заключается в том, что нужно знать все параметры, влияющие на искомую величину. Для совершенно неисследованных процессов эти парамет­ры находят, проводя предварительные эксперименты. Если же процесс уже опи­сан математически, хотя бы на уровне дифференциальных уравнений, то в эти уравнения, в граничные и начальные ус­ловия к ним, очевидно, входят все влияю­щие на процесс параметры. Приводя к безразмерному виду математическое описание процесса, получают те же са­мые безразмерные числа. Этим занимается теория подобия. И, наконец, если даже задача решена аналитически, то и в этом случае для удобства анализа по­строения номограмм решения часто при­водят к безразмерному виду. Например, построить графическую зависимость теп­лового потока через цилиндрическую стенку [см. (3.22)] от всех влияющих на него параметров очень сложно, а зависи­мость в безразмерной форме Q/[λl(t_c1- t_c2)] = f (d₂/d₁) выразится с помощью единственной линии. Причем, если бы не было аналитического решения, мы могли бы эту линию построить на основании результатов экспериментов, а затем по­добрать вид функции. Не исключено, что в данном случае мы бы угадали лога­рифмическую зависимость, но при небольшом интервале изменения парамет­ров ее легко спутать с линейной, тем более что экспериментальные точки сами отклоняются от точной кривой из-за по­грешности измерений. Никогда нет пол­ной уверенности, что подобранная эмпи­рическая зависимость точно соответству­ет неизвестному реальному закону, по­этому область ее применения всегда ограничивается теми интервалами изме­нения безразмерных параметров, в кото­рых проведен эксперимент [1].