12.1 Особые точки аналитических функций

         Определение. Точка а называется особой точкой функции  , если в этой точке функция имеет разрыв или у нее не существует производная.

Точка а называется изолированной особой точкой функции  , если существует такое  , что в кольце   функция аналитична.

         В дальнейшем рассматриваются только изолированные особые точки.

         Пусть а – изолированная особая точка функции  .

         Определение 1. Точка а называется устранимой особой точкой функции  , если существует конечный предел  .

         Теорема 1. Для того, чтобы а была устранимой особой точкой функции   необходимо и достаточно, чтобы в разложении   в кольце   в ряд Лорана в нем отсутствовала главная часть.

         Если положить  , то особенность исчезает.

         Определение 2. Точка а называется полюсом функции  , если  .

         Теорема 2. Для того, чтобы а была полюсом функции   необходимо и достаточно, чтобы в разложении   в кольце   в ряд Лорана в главной части было конечное число слагаемых.

         Замечание. Если главная часть начинается с члена, содержащего  , то говорят, что точка а есть полюс n-го порядка. Если n=1, то полюс называется простым.

         Определение 3. Если   не существует, то точка а называется существенно особой точкой функции  .

         Теорема 3. Для того, чтобы а была существенно особой точкой функции   необходимо и достаточно, чтобы в разложении   в кольце   в ряд Лорана в главной части было бесконечное число слагаемых.

Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням  , то есть ряд вида

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

1.  — положительная часть ряда Лорана (иногда называется правильной) и

2.  — отрицательная часть ряда Лорана (иногда называется главной).

При этом ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части. Термин назван в честь французского математика

 областью сходимости ряда Лорана (60) будет пересечение областей сходимости его частей и имеет место теорема:

функция   аналитическая в круговом кольце   однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана, а коэффициенты определяются выражением:

(61)

где   - произвольный замкнутый контур, принадлежащий кольцу  . Формула (61) определяет прямой способ разложения функции  в ряд Лорана.

12.2 Вычеты в особых точках

         Пусть а – изолированная особая точка функции  .

         Теорема. Интегралы по всем простым контурам, окружающим особую точку, равны между собой.

         Таким образом, интегралы по простым контурам, окружающим особую точку, являются характеристикой точки, а не контура.

Определение. Пусть G - любой простой контур, окружающий особую точку а. Величина

называется вычетом функции   в точке а и обозначается символом  .

         Сравним это выражение с выражением для коэффициентов ряда Лорана функции  :

.

Если взять n = – 1, то получим

,

 и получается, что  .

         Итак: Вычетом функции   в точке а называется величина  , где интеграл берется по любому простому контуру, окружающему особую точку. Численно вычет  равен коэффициенту   в разложении функции   в ряд Лорана в окрестности точки а.