12 Биномиальное, Пуассоновское, геометрическое и гиппергеометрическое

Биномиальным распределением С параметрами n и р наз распределение числа успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха в каждом испытании р. Биномиальное распред-е имеет вид:

Х	0	1	2	…	n
Р	Cn0p0qn	Cn1p1qn-1	Cn2p2qn-2	…	Cnnpnq0

Где q = 1-р. Для случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону с параметрами n и р, M(X)=np, D(X)=npq.

Пуассоновское распределение с параметром λ>0 задается следующей бесконечной таблицей

Х	0	1	…	k	…
Р	e-λ	λ e-λ /1!	…	λke-λ /k!	…

M(x)=D(X)=λ

Геометрическим распределением с параметром р наз распределение числа испытаний до первого успеха в серии независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. Оно имеет вид бесконечной таблицы:

Х	1	2	…	k	…
Р	р	qр	…	qk-1p	…

Для дискретной случайной величины. Распределенной по геометрическому закону, M(X)=1/p, D(X)=q/p².

Гипергеометрическое распределение . Рассмотрим пример. Пусть в партии из N изделий имеется М стандартных. Из нее случайно отбирают n изделий, причем отобранное изделие не возвращается в партию. Пусть Х- С.В.- число m изделий среди n отобранных. Найдем Р(Х=m):

(1) - Общее число элементарных исходов = Сⁿ_N. (2) - Число исходов, благоприятствующих событию Х=m,(среди взятых n изд-й ровно m стандартных)= С^m_M С^n-m_N-M

(m стандартных изделий можно извлечь из М С^m_M способами, при этом остальные n-m изделий д.б. нестандартными, последние мы извлкаем из N-M нестандартных изделий С^n-m_N-M способами).

Искомая вероятность равна отношению (1) к (2):

Р(Х=m)= С^m_M С^n-m_N-M / Сⁿ_N

Причем, если n Значительно меньше N, то гипергеометрич. Распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, полученным по биномиальному закону.

13 Функция распределения случайной величины.

Определение. Функцией распределения случайной величины  называется функция F(x) = P < x

Свойства F(x):

1. Зная F(x), можно найти Px₁   < x₂

 < x₂ =  < x₂  x₁   < x₂  P < x₂ = P < x₂  Px₁   < x₂

 Px₁   < x₂ = F(x₂) - F(x₁)

2. Функция F(x) неубывающая, причем 0  F(x)  1

Если x₂ > x₁, то F(x₂)  F(x₁) ( P < x₂  P < x₁ )

3. Справедливы равенства:

а) lim F(x) = lim P  (-; x) = 1; b) lim F(x) = 0

^{x  + x  + x  - }

4. Функция F(x) = lim F(x - )  F(x – 0)

^{  0,  > 0}

5. P = x = F(x+0) – F(x-0); где F(x+0)  lim F (x + )

^{  0,  > 0}