Производные основных элементарных функций
Производная
степенной функции.
y=xμ,μ∈R.
y/=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0Δx(x+Δx)μ−xμ=limΔx→0Δxxμ[(xx+Δx)−1]=limΔx→0xΔx·xxμ[(1+xΔx)−1]=
=limΔx→0xΔxxμ−1[(1+xΔx)−1]=[xΔx=t,Δx→0,t→0]=limt→0xμt(1+t)μ−1=xμ·μ,
[xμ]/=μ·xμ−1.
Производная
логарифмической функции.
y=logax,
y/=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0Δxloga(x+Δx)−logax=limΔx→0Δxloga(xx+Δx)=limΔx→0xxΔxloga(1+xΔx)=
=limΔx→0x1·loga(1+xΔx)·1xΔx=[t=xΔx,Δx→0,t→0]=limt→0x1·t1·loga(1+t)=x1limt→0loga(1+t)t1=
=x1loga[limt→0(1+t)t1]=x1logae=1xlna,
[logax]/=1xlna.
Производная
показательной функции.
y=ax,
y/=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0Δxax+Δx−ax=limΔx→0Δxax(aΔx−1)=axlna,
[ax]/=axlna.
Производные
тригонометрических функций.
y=sinx,
y/=limΔx→0Δxsin(x+Δx)−sinx=limΔx→0Δx2sin2Δxcos22x+Δx=limΔx→0Δx22Δxcos(x+2Δx)=cosx,(sinx)/=cosx.
(cosx)/=−sinx.
y=tgx,
y/=cos2x(sinx)/cosx−(cosx)/sinx=cos2xcos2x+sin2x=1cos2x,
(tgx)/=1cos2x.
(ctgx)/=−1sin2x.
Производные
обратных тригонометрических функций.
y=arcsinx.
Применим
теорему о нахождении производной
обратной функции:
x=siny,
y/(x)=1x/(y)=1cosy=1√1−sin2y=1√1−[sinarcsinx]2=1√1−x2.
y=arccosx,
x=cosy,
y/(x)=1x/(y)=1−siny=−1√1−cos2y=−1√1−[cos(arccosx)]2=−1√1−x2.
y=arctgx,
x=tgy,
y/(x)=1x/(y)=cos2y=cos2ycos2y+sin2y=11+tg2y=11+[tg(arctgx)]2=11+x2.
y=arcctgx,
x=ctgy,
y/(x)=1x/(y)=−sin2y=−sin2ysin2y+cos2y=−11+ctg2y=−11+[ctg(arcctgx)]2=−11+x2.
