29. Символы «о» и о». Эквивалентные функции

Если  , такое, что   кроме, быть может, самой точки x₀, выполняется неравенство

|g(x)| < ε|f(x)|,

то записываем

g = o(f)

при x → x₀. При этом в случае g(x) → 0, f(x) → 0 при x → x₀ считаем, что фунция g есть бесконечно малая более высокого порядка, чем f; если жеg(x) → ∞, f(x) → ∞ при x → x₀, то считаем, что бесконечно большая функция g имеет порядок роста ниже, чем f.

Если существует интервал   такой, что  , то запись g = O(f) означает, что отношение g(x)/f(x) ограничено при  , а запись g = o(f), что g(x)/f(x) → 0 при x → x₀.

Символы O и o называются символами Ландау.

Функции g и f называются эквивалентными, если f - g = o(g), т. е. если   такое, что   выполняется неравенство |f(x) -g(x)| < ε|g(x)|.

При этом записываем f ~ g, а равенство f = g + o(g) называем асимптотическим равенством.

Пусть   и g(x) > 0  , тогда

30. Таблица эквивалентных бесконечно малых величин при х  0

1)	.
2)	.
3)	.
4)	.
5)	.
6)	(  ).
)	.
7)	(  ).
)	.

31. Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы    и   и докажем, что они равны 1.

Пусть  . Отложим этот угол на единичной окружности ( ).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке  . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

 (1)

(где   — площадь сектора  )

(из  :  )

Подставляя в (1), получим:

Так как при  :

Умножаем на  :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

32. Второй замечательный предел

 или 

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений

  Докажем вначале теорему для случая последовательности 

По формуле бинома Ньютона: 

Полагая  , получим:

       (1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число   убывает, поэтому величины   возрастают. Поэтому последовательность   — возрастающая, при этом

      (2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

.

Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

.

Поэтому        (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом   выполняются неравенства (2) и (3):    .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность   монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.   

   Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что  . Рассмотрим два случая:

1. Пусть  . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:  , где   — это целая часть x.

Отсюда следует:  , поэтому

.

Если  , то  . Поэтому, согласно пределу  , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов  .

2. Пусть  . Сделаем подстановку  , тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что   для вещественного x.

33. Определение и простейшие свойства непрерывных функций

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если  .

Дадим несколько расшифровок этого важнейшего определения.

а) Вспоминая понятие предела, запишем непрерывность f(x) в точке х0 в виде

б) Так как х₀=lim x, то непрерывность в точке х₀ можно записать в виде

Отсюда следует важнейшее свойство непрерывной функции: для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предельного перехода

в) Обозначим Dx=x-x₀ (приращение аргумента) и Df=f(x)-f(x₀) (приращение функции). Тогда непрерывность в точке х₀ означает, что  , т.е. бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции.

Введем обозначения:

если эти пределы существуют.

34. Основные теоремы о непрерывных функциях

Первая теорема Больцано-Коши. Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения.Тогда существует такая точка с принадлежащая [а,b] в которой f(c)=0.