Напряжения в поперечных сечениях бруса.
Продольная сила N является равнодействующей элементар-ных внутренних сил в сечении растянутого стержня, она связана с нормальными напряжениями зависимостью
Используя принцип Сен-Венана и условие однородности стержня, предполагаем, что внутренние силы распределены по поперечному сечению равномерно. Следовательно, нормальные напряжения σ при центральном растяжении-сжатии во всех точках сечения одинаковы. Это позволяет в выражении для N вынести σ за знак интеграла:
откуда σ=N/A , где А - площадь поперечного сечения.
Замечание. Если по длине стержня продольная сила N и площадь сечения А постоянны, то в стержне возникает однородное напряженное состояние, т. е. напряжения одинаковы во всех точках всех поперечных сечений.
Если же по длине стержня площадь поперечного сечения А переменна или вдоль оси приложены внешние нагрузки, то напряжения будут различными для разных поперечных сечений. Напряженное состояние в стержне будет неоднородным.
Продольные и поперечные деформации бруса. Закон Гука при растяжении и сжатии.
П
родольные
деформации.
Предположим,
что до нагружения длина стержня была
равна l.
Под воздействием
силы F
его длина
увеличилась
на Δl
и стала I
+ Δl
.
Величину Δl
называют абсолютным
удлинением
стержня. Вследствие однородного
напряженного состояния все участки
растянутого стержня находятся в
одинаковых условиях, поэтому и
линейная деформация 
по оси стержня будет постоянной, равной
своему среднему значению:
ε
=
Δl / l
Эта величина называется относительным удлинением (относительной деформацией) стержня.
Если в стержне возникает неоднородное напряженное состояние, деформация в сечении определяется предельным переходом к малому участку длиной dz ε=Δ(dz)/dz , где Δ(dz) – удлинение элемента dz.
Поперечные
деформации.
Удлинение
стержня в направлении оси z
сопровождается уменьшением его
поперечных размеров
Таким
образом, при растяжении возникает
не только продольная εz=ε=Δl/l,
но и поперечная деформация стержня
εx=εy=Δa/a
Экспериментально установлено, что в пределах применимости закона Гука поперечная деформация пропорциональна продольной:
εx=εy= -vε
где v - коэффициент Пуассона (безразмерная константа упругости материала).
Закон Гука при растяжении-сжатии
Напряжения и деформации линейно связаны между собой законом Гука, который подтвержден экспериментально и при растяжении-сжатии стержня имеет вид σ=Eε,
где Е - модуль Юнга (физическая константа материала, измеряется в Па. Например, для стали Е = 2.06*10^11
11 Удлинение (укорочение) бруса постоянного поперечного сечения. Жесткость при растяжении и сжатии. Перемещения поперечных сечений бруса.
Удлинение участка стержня. Подставим выражение для деформации ε=Δ(dz)/dz в закон Гука σ=Eε (1). Тогда, учитывая соотношение σ=N/A , получим полное удлинение участка стержня длиной l :
Δ(dz)=Ndz/EA;
(2)
Из выражения (2) можно получить формулу для удлинения участка стержня при N = const, A= const:
Δ=Nl/EA (3)
где ЕА - жесткость поперечного сечения стержня при растяжении-сжатии.
Перемещения сечений стержня. Часто требуется найти перемещения точек оси, а также полное удлинение стержня, состоящего из нескольких участков. Границами участков служат сечения, где приложены внешние силы или меняется жесткость сечения (рисунок 2.5).
В соответствии с (3) удлинение i-го участка стержня
Δli= Nili/ ЕAi
где Ni - продольная сила на i-м участке (Ni = const); li , ЕАi - длина и жесткость i-ro участка (ЕАi = const).
®
©
Перемещение δi, сечения стержня, находящегося на границе i-го участка, состоит из удлинения этого участка и перемещения его как единого целого за счет деформирования предыдущих участков:
δi= δi-1+Δli= δi-1+Ni ili/EAi
(i=1,…,n; δ0) (4)
По полученным результатам строят эпюру продольных перемещений (эпюру δ), т. е. график, изображающий изменение этих перемещений по длине оси бруса.
Полное удлинение стержня, состоящего из п участков, равно перемещению крайней точки последнего участка:
Δl=δn=∑Δli = ∑Ni l I /EAi
т. е. полное удлинение стержня, состоящего из нескольких участков, определяется алгебраическим суммированием удлинений участков.