54. Основы метода перемещений. Канонические уравнения метода перемещений.

Перемещением данной точки сооружения называется из­менение ее координат, вызванное деформацией системы. Переме­щения могут быть линейными и угловыми.

Цель и методы определения перемещений. Сооружения, ма­шины, механизмы, летательные аппараты и т. п. должны быть не только прочными, но и достаточно жесткими. Это значит, что пе­ремещения различных точек конструкции, возникающие при ее деформации, должны быть достаточно малыми.

Итак, определение перемещений необходимо:

■для оценки жесткости конструкции;

■ при расчетах статически неопределимых систем;

■при решении задач динамики.

Наиболее общим и универсальным методом определения пере­мещений является метод Мора. Он позволяет вычислять любые типы перемещений (удлинения, прогибы, углы поворота, углы за­кручивания и т. п.) для всех типов стержневых систем (балки, ра­мы, фермы). Особенно большое значение метод Мора имеет в рас­четах статически неопределимых систем.

Гипотезы и допущения. Внешняя нагрузка прикладывается статиче­ски. Действующие силы считаются консервативными, т. е. их работа не зависит от пути перехода системы из одного по­ложения в другое, а вполне определяется ее начальным и конеч­ным состояниями. Таковыми являются силы упругости, гравита­ционные силы, центробежные силы, силы электростатического взаимодействия и др. Напротив, внутренние силы при упругопла-стическом деформировании тела, силы трения, вязкие силы и дру­гие не являются консервативными.

Канонические уравнения метода перемещений статические - это уравнения равновесия:

r_l1Z + r₁₂Z₂ +... + r_lnZ_n + R_1f = 0;

r₁₂Z₁ + r₂₂Z₂ +... +r_2nZ_n +R_2f=0;

……………………………………..

r_n1 Z₁ + r_n2Z₂ +... + r_nnZ_n +R_nf=0,

а в векторно-матричной форме

[r] [Z] + {R_f} = {0}. (1.21)

Здесь r_ij - реакции в дополнительных связях (заделках, стерженьках) от единичных перемещений этих связей (угловых, линейных); R_if -реакции в дополнительных связях от внешней нагрузки; Z_i - искомые угловые и линейные перемещения. В отличие от абсолютно жесткой заделки, используемой в расчетных схемах сопротивления материа­лов, заделка метода перемещений оказывает препятствие повороту узла и не лишает его линейной подвижности. Смысл уравнений (1.21) - отрицание (отсутствие) реакций в дополнительных связях.

В (1.21) [r] - матрица жесткости, которая наравне с матрицей по­датливости [δ] также характеризует упругие свойства конструкции. Между ними существует важная взаимно обратная связь:

[δ]^-1[r] = [r]^-1[δ] = [E]

55. Матрица жесткости. Механический смысл коэффициентов матрицы жесткости, приемы вычисления коэффициентов.

В (1.22) [r] - матрица жесткости, которая наравне с матрицей по­датливости [δ] также характеризует упругие свойства конструкции. Между ними существует важная взаимно обратная связь:

[δ]^-1[r] = [r]^-1[δ] = [E], ав развёрнутом виде одно из произведений выглядит так

где показатель степени (-1) у матрицы [δ] означает обратную матри­цу к исходной; [Е] - единичная матрица.

Смысл коэффициентов r_ij поясняет рисунок. Балка совер­шенно аналогична конструкции, изображенной в 54вопросе. В соответствии с методом перемещений введены дополнительные ли­нейные связи (жесткие шарнирно подвижные опоры) в сечениях, где установлены точечные массы (здесь массы не изображены, а номера степеней свободы сов­падают с номерами масс на ри­сунке в 55 вопросе). В результате пе­ремещения, предоставленные степенями свободы, устранены связями. Например, когда тре­тьей связи придают единичное перемещение, во всех остальных воз­никают усилия

г_i3 (/ = 1, 2, 3).