35

Решение типовых задач.

Примечание к решению типовых задач.

При решении типовых задач в табличном процессоре EXCEL и вручную, на калькуляторе из-за особенностей программы при округления цифр промежуточных расчётов некоторые из итоговых результатов могут отличаться. Это не является ошибкой, а лишь особенностью пакетного и ручного решения.

Задача 1.

Приводятся данные за 2000 год по территориям Северо-Западного федерального округа

Таблица № 1.

Территории Северо-Западного федерального округа	Оборот розничной торговли за год, млрд. руб.	Общая сумма доходов населения за год, млрд. руб.
А	Y	X
1.Респ. Карелия	9,4	19,1
2.Респ. Коми	16,7	37,3
3.Архангельская обл.	16,3	30,0
4.Вологодская обл.	12,1	27,5
5.Калининградская обл.	14,0	19,0
6.Ленинградская обл.	15,6	26,2
7.Мурманская обл.	20,5	39,5
8.Новгородская обл.	9,3	14,8
9.Псковская обл.	7,3	11,6
10.г.Санкт-Петербург1)	83,1	133,6
Итого	121,2	225
Средняя	13,47	25,0
	4,036	9,120
Дисперсия, D	16,289	83,182

¹⁾ Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (г.Санкт-Петербург) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.

Задание:

1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3. Рассчитайте параметры а₁ и а₀ парной линейной функции , степенной , линейно-логарифмической функции и параболы второго порядка .

4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (r и ρ) и детерминации (r² и ρ²), проанализируйте их значения.

5. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости =0,05.

6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии.

7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата ( ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите скорректированную среднюю ошибку аппроксимации - ε'_ср., оцените её величину.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата , если прогнозное значение фактора ( ) составит 1,062 от среднего уровня ( ).

9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для =0,05), определите доверительный интервал прогноза ( ; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ( ), оценивая точность выполненного прогноза.

Решение:

1.Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора . См. табл.2. Если график строится в табличном процессоре EXCEL, то в исходной таблице фактор должен находиться на первом месте, а результат – на втором. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи оборота розничной торговли (Y) с общей суммой доходов населения (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.

Таблица № 2.

Территории Северо-Западного федерального округа	Общая сумма доходов населения за год, млрд. руб.	Оборот розничной торговли за год, млрд. руб.
А
1.Псковская обл.	11,6	7,3
2.Новгородская обл.	14,8	9,3
3.Калининградская обл.	19,0	14,0
4.Респ. Карелия	19,1	9,4
5.Ленинградская обл.	26,2	15,6
6.Вологодская обл.	27,5	12,1
7.Архангельская обл.	30,0	16,3
8.Респ. Коми	37,3	16,7
9.Мурманская обл.	39,5	20,5
Итого	225,0	121,2
Средняя	25,0	13,47
	9,120	4,036
Дисперсия, D	83,182	16,289

2.Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой: , отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

3.Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а₀ и а₁. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа₀ и Δа_1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X², X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. См. табл.3.