15) Линейные и угловые перемещения при изгибе. Общие понятия. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (вывод).

Линейное перемещение центра тяжести поперечного сечения в направлении перпендикулярном перемещению оси балки называется прогибом V(z) – прогиб.

Угол отклонения поперечного сечения от первоначального положения называется углом поворота сечения θ(z) – угол поворота.

Аналитические методы определения перемещений.

При слабом изгибе – Первая производная прогиба = углу поворота прогиба

- Кривизна нейтрального слоя

– Кривизна произвольной кривой

– Точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

При слабом изгибе

- Приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси

Интегрируем (5)

– Уравнение углов поворота

Интегрируем (6)

– Уравнение прогибов

С и D – постоянные интегрирования определяемые из граничных условий.

16) Метод начальных параметров. Определение перемещений в балках с несколькими участками нагружения (пример).

Назначение: используется для уменьшения постоянных интегрирования.

Правила метода начальных параметров

1. Начало координат выбирается на одном из концов балки.

2. Уравнение изгибающих моментов записывается для участка наиболее удалённого от начала координат.

3. Рассматривается та часть балки, в которой содержится начало координат.

4. Если распределённая нагрузка прерывается при переходе к следующему участку, она продолжается до конца балки и добавляется в компенсирующую нагрузку.

5. Интегрирование производится без раскрытия скобок.

6. Сосредоточенные внешние моменты входят в уравнение изгибающих моментов с фиктивным плечом.

7. Постоянные интегрирования C и D представляют собой соответственно угол поворота и прогиб в начале координат

8. Правило знаков для перемещения: положительный прогиб вверг, отрицательный вниз.

9. Положительный угол поворота против часовой стрелки, отрицательный по часовой при z слева направо.

Условие жёсткости при изгибе.

Vmax [V], [V]=(0.001 0.001)

17) Теорема о взаимности дополнительных работ внешних сил. Теорема о взаимности перемещений.

Теорема. Работа внешних сил первого состояния на перемещение вызванное силами второго состояния равно дополнительной работе внешних сил второго состояния на перемещение вызванное силами первого состояния.

F₁Δ₁₂=F₂ Δ₂₁ (2) – теорема Бетти

W₁₂=W₂₁ (1)

Если – Единичная безразличная сила (фиктивная)

Из (2) Δ₁₂= Δ₂₁ (3) – Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла)

Перемещение в направлении первой единичной силы за счёт действия второй единичной силы равно перемещению в направлении второй единичной силы за счёт первой единичной силы.

18) Теорема о взаимности дополнительных работ внутренних сил.

(a)

Длина нейтрального слоя , после деформации

т.к. (б)

dz

(б) (а) :

(4) – Дополнительная работа

(5)

По закону сохранения (6)

19) Интеграл Мора (вывод).

– для изгибающего момента от внешней нагрузки в заданной системе.

– для изгибающего момента в вспомогательной системе от единичного усилия

– Интеграл Мора.

Пример.