Оценка тесноты связи нелинейной зависимости

При наличии нелинейной зависимости (парабола, гипербола, экспонента и т.п.) теснота связи оценивается эмпирическим корреляционным отношением

или

Теоретическое корреляционное отношение

В случае, если или , можно говорить о том, что связь между признаками линейная.

Уравнения регрессии

Расчет дополняется определением параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов.

1) Парная линейная регрессия:

2) Параболическая регрессия:

3) Гиперболическая регрессия:

4) Показательная регрессия:

5) Логарифмическая регрессия:

В парной линейной регрессии значение параметра b показывает, на сколько единиц изменяется в среднем у с изменением х на единицу,

Коэффициент детерминации показывает, какая доля вариации результативного признака у обусловлена изменением факторного признака х.

Коэффициент эластичности

Коэффициент эластичности при линейной зависимости определяется по формуле:

Он показывает на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на один процент, т. е. представляет собой соотношение темпов прироста у и х.

Оценка существенности коэффициента регрессии

Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии.

Значимость коэффициентов регрессии осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента

, где -дисперсия коэффициента регрессии

Коэффициент регрессии

Коэффициент регрессии признается статистически значимым, если ,

где α - уровень значимости критерия проверки гипотезы о равенстве нулю параметров, измеряющих связь,

v = n-к-1 - число степеней свободы, которое характеризует число свободно варьирующих элементов совокупности.

Оценка существенности уравнения связи

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью расчета F-критерия и величины средней ошибки аппроксимации

Если при заданном уровне значимости, то гипотеза о несоответствии заложенных в уравнении регрессии связей отвергается.

, где - совокупный коэффициент множественной детерминации.

определяется по таблицам на основании уровня значимости и числа степеней свободы:

где n - число наблюдений, k - число факторных признаков в уравнении.

Значение средней ошибки аппроксимации определяется по формуле:

,

где - средняя ошибка аппроксимации, и не должно превышать 12-15 %.

Множественная корреляция

,

где a,b,c, ...d - коэффициенты регрессии, , , ... - факторные признаки

Совокупный коэффициент множественной корреляции

При наличии трех признаков x, z, y один из которых рассматривается как результативный (у), рассчитывается коэффициент множественной корреляции

компоненты которого (парные коэффициенты корреляции) определяются по указанным выше формулам.

Пределы изменения совокупного коэффициента множественной корреляции:

Надежность совокупного коэффициента множественной корреляции определяется по формуле:

, где

где N - число наблюдений, n - число факторов

Парциальные (частные) коэффициенты корреляции

При изучении зависимости явлений приобретает особое значение необходимость устранения влияния какого-либо фактора. Это достигается помимо построения и анализа комбинационных таблиц путем применения метода частной корреляции. Он заключается в построении частных (парциальных) коэффициентов корреляции.

Парциальные коэффициенты исчисляются на основе парных коэффициентов корреляции по формулам:

имеют границы:

Применение: Оценка хозяйственной деятельности по отклонениям от расчетных значений показателей на основе уравнений регрессии (тем более на основе многофакторных регрессионных моделей) гораздо более оправдана и содержательна, чем оценка результатов производства по отклонениям от среднего значения результативного признака в совокупности без учета факторов - характеристик возможностей и природных условий предприятия.