Билет 11

Функия Эри. Комплексное представление бигармонической функции Гурса.

Для решения плоских и антиплоских задач эффективно используются комплексные переменные. При этом решения ищутся в виде аналитических функций.

Уравнения равновесия при плоском напряженном состоянии удовлетворяются, если выразить напряжения через функцию Эри :

, , (7)

Компоненты тензора напряжений кроме уравнений равновесия должны удовлетворять еще уравнению, которое следует из условия совместности деформаций

Из этого уравнения следует, что функция напряжений Эри является бигармонической и удовлетворяет уравнению

Гурса в 1898 г. показал, что любую бигармоническую функцию можно выразить через две аналитические функции комплексного переменного.

Функции комплексного переменного широко используются в задачах гидродинамики, электростатики, фильтрации, всюду, где решение описывается гармоническими функциями. Объясняется это тем, что у любой дифференцируемой в некоторой области, т.е. аналитической функции комплексного переменного , где , действительная и мнимая части являются гармоническими функциями переменных :

Это связано с тем, что существование производной означает существование предела

При чем, такой предел не зависит от пути предельного перехода.

Возьмем h действительным: h=s,

Найдем теперь тот же предел при h=is, т.е. рассмотрим предельный переход, приближаясь к точке z вдоль мнимой оси:

Приравнивая полученные выражения, получим условия Даламбера-Эйлера

: (8)

Из этих условий дифференцируемости функции комплексной переменной и следует гармоничность , что проверяется простой проверкой. Такая пара функций считается сопряженной и каждая из них может быть найдена по второй интегрированием (8)

Рассмотрим 2 примера:

Рис. 3

Легко проверяется, что действительные и мнимые части этих функций гармонические. Первая из них определяет, например, течение идеальной жидкости в угле, уравнение линий тока которого: (Рис.3)