Билет 1

1. Теоретическая прочность кристаллических тел на растяжение. Оценка теоретической прочности через модуль Юнга.

Рассмотрим идеальную атомную решетку бездефектного кристалла.

Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением кубической решетки с ребрами длиной а.

Атомы помещены в вершинах, узлах решетки. При деформации атомной решетки энергия связи меняется. Силы взаимодействия атомов определяются в основном зависимостью, описывающей изменение энергии взаимодействия U ближайших атомов при их отклонении от равновесного состояния. Кривую, качественно представляющую такую зависимость, можно построить, рассмотрев два соседних атома, причем один из них, например, левый, будем считать закрепленным (рис.1)

Рис. 1 Зависимость потенциальной энергии и напряжения от расстояния между соседними атомами.

1. Бесконечно удаленные атомы не взаимодействуют, а значит при

2. При сближении притягивающихся атомов их энергия взаимодействия убывает

3. Атомы нельзя совместить не разрушив их, поэтому при сближении атомов энергия взаимодействия неограниченно возрастает: при

4. Ближайший атом решетки находится на равновесном расстоянии , доставляющем минимум потенциальной энергии взаимодействия: при

Отсюда следует качественная зависимость , изображенная на рис. 1 Сила взаимодействия атомов - это градиент потенциального поля . Если характерная площадь ячейки атомной решетки , то можно ввести напряжения, определив их следующим способом

,

Качественный вид зависимости показан на рис.1. Величину деформации решетки при нагружении можно найти по формуле . В ненагруженном состоянии и Интервал, на котором с ростом напряжения возрастают, описывает диапазон устойчивого деформирования решетки: рост деформации проводит к увеличению напряжения. При разгрузке решетка вернется в исходное равновесное состояние.

Интервал, на котором с ростом напряжения убывают, отвечает неустойчивому состоянию решетки: деформация растет, несмотря на падение напряжения. Эта ветвь кривой показывает ослабление взаимодействия атомов решетки при разрыве атомной связи. Таким образом, максимальное значение является пределом прочности межатомной связи, называемым теоретической прочностью. Оценим величину . Для твердых тел известны их сопротивляемость слабому сжатию и растяжению, определяемую модулем Юнга и предельная деформация при растяжении Используем эти величины для оценки . Аппроксимируем зависимость функцией: . Максимум этой функции приходится на относительную деформацию ( ), что соответствует опытным данным.

Для малых определяем . Отсюда

2. Решение задачи о прямолинейном разрезе, нагруженном изнутри постоянным давлением, вызывающем плоское деформирование отрыва (на основе комплексного представления Слепяна).

Трещины отрыва, раскрываемые давлением и расположенные на прямой . Этот случай отличается тем, что на оси всей X . Отсюда

. Это требование можно удовлетворить, если принять, что выпоняется равенство , откуда следует связь между и :

. Подставляя это выражение в (15) и заменяя на , получим:

, откуда:

Из (14) следует . Решая систему уравнение для и , получаем:

, , (17)

Найдем выражения для смещений через :

Из (16) следует: .

Отсюда:

Или

Отсюда смещения выражаются формулами:

, (18)

В задаче о прямолинейной трещине, расположенной на оси X в интервале и нагруженной изнутри давлением , имеем следующие граничные условия для аналитической функции : при ,

при , так как , .

Эти граничные условия совпадают с условиями аналогичной задачи в антиплоской постановке теории упругости.