Принцип суперпозиции для нахождения кин трещин.

Величина КИН трещин определяется как геометрией задачи, так и приложенной нагрузкой. Линейный характер теории упругости позволяет получать ее решение как сумму решений для задач с более простыми граничными условиями.

Как пример, найдем КИН прямолинейного разреза со свободными от нагрузок берегами в плоскости, нагруженной на бесконечности растягивающим напряжением . Решение задачи представим, как суперпозицию поля однородного растяжения плоскости и поля деформаций разреза, находящегося в свободной от напряжений на бесконечности плоскости, нагруженного изнутри давлением. Напряжения на месте разреза, расположенного вдоль оси Х в растянутой плоскости равны: , . Для того чтобы берега разреза были свободны, как это требует исходная задача, необходимо , чтобы второе поле скомпенсировало нагрузку берегов первого поля. Для этого надо, чтобы на берега разреза действовало давление . Тогда поле там будет: , .

Решение последней задачи нами определено ранее: . Так как поле равномерно растянутой плоскости не дает вклада в КИН, для КИН первоначально поставленной задачи о растяжении плоскости, содержащей свободный разрез имеем тоже выражение, что и для свободной плоскости с разрезом , нагруженным давлением изнутри. Более сложный пример дает рассмотрение задачи о растяжении полосы шириной с центральным разрезом длиной . К нижнему краю полосы приложена нагрузка . Эта нагрузка уравновешена силой, приложенной к верхнему берегу разреза: .

Искомое поле представляем как сумму трех полей, как показано на рисунке. Можно убедиться, что граничные условия поставленной задачи выполняются при сложении более простых задач и той же, поставленной. Имеем:

. Отсюда

Наклонная трещина в одноосном поле напряжений

Применим метод суперпозиции к решению задачи о напряженном состоянии наклонной прямолинейной трещины со свободными берегами, находящейся в растянутой на бесконечности упругой плоскости. Пусть плоскость растянута вдоль оси Y напряжением . Линия трещины составляет угол с осью Y. Искомое поле представим как сумму поля 1 растянутой плоскости без разреза и поля 2 плоскости, свободной на бесконечности с разрезом нагруженным изнутри. Напряженное состояние поля 1 определяется выражениями: , . Найдем вектора напряжений, с которыми верхний берег линии, где расположен разрез действуют на нижний. Эти компоненты вектора определяются через тензор напряжений и углы внешней нормали к нижнему берегу линии разреза: ., где . Отсюда

Вектор ( ) разложим на нормальную и тангенциальную компоненты относительно линии разреза: , . Такие усилия, но в противоположном направлении надо приложить в задаче, определяющей поле 2. Это выполнится, если нагрузить берега трещин давлением и сдвигающим напряжением . Такая нагрузка дает следующие значения КИН:

Возникают вопросы при каком напряжении растяжения пространства с трещиной, она начнет расти и в каком направлении.

Развитие трещины в условиях отрыва и поперечного сдвига.

Экспериментальные исследования развития трещин, испытывающих деформации отрыва и поперечного сдвига показали, что достаточно хорошо работает модель обобщенного нормального разрыва. Согласно этой модели трещина развивается по радиусу из ее вершины, на котором максимальны поперечные растягивающие усилия. Происходит это, когда КИН в этом направлении равен его критической величине. Для определения зависимости угла поворота трещины от значений КИН - и воспользуемся формулами асимптотического распределения напряжений у вершины трещины. Направим ось Х по касательной к трещине в ее вершине и поместим вершину в начало координат. Тогда для трещины отрыва имеем:

Эти формулы позволяют рассчитать компоненты тензора напряжения для точек любого радиуса, выходящего из вершины в системе координат (X, Y) под углом . Для расчета напряжений в таких точках в системе координат, направленных по радиусу и нормали к нему, можно воспользоваться формулами преобразования компонент тензора при повороте системы координат на угол :