Критерий Райса

Эшелби, Райс и Черепанов ввели в рассмотрение применительно к трещинам независящий от пути интегрирования контурный интеграл. Его контур интегрирования начинается на одном берегу трещины, охватывает вершину и заканчивается на другом берегу (рис.5).

Рис.5

(30)

Здесь - плотность упругой энергии, - вектор сил на площадке с нормалью . Для упругого изотропного тела

При этом

В общем случае

Введем еще контур . Интеграл (30) по нему равен . Рассмотрим составной контур . На свободных от напряжений берегах вклад в интеграл равен нулю, так как , поэтому интеграл по контуру : . Знак – объясняется тем, что интеграл по берется в обратном направлении.

Покажем, что интеграл по контуру равен нулю. Для интеграла от первого слагаемого в (30) справедлива формула Грина, по которой интеграл по контуру можно привести к интегралу по площади.

. (31)

Здесь S – площадь односвязной области, ограниченной контуром С.

Интеграл от второго слагаемого приводится к интегралу по площади с помощью формулы Остроградского – Гаусса:

. (32)

В (30) вектор сил на площадке с нормалью определяется по тензору напряжений по формуле: . С учетом этого второе слагаемое в (30) равно:

.

Отсюда вектору в (32) в (39) соответствует . Вычислим :

.

Объединяя все части интеграла (30) по контуру , получаем:

. (33)

Проведем дифференцирование плотности упругой энергии.

.

Подставляя полученное выражение в (33), получаем .

Отсюда следует, что интеграл Райса (30) не зависит от пути интегрирования. Физический смысл этой величины можно понять из следующих расчетов. Возьмем контур интегрирования в (30) достаточно близко к вершине трещины, чтобы можно было пользоваться асимптотическим полем деформаций, которое существует около вершины.

1. Дадим небольшое приращение трещине, так что ее вершина переместится на . Рассчитаем на сколько изменится энергия внутри контура . Эта энергия равна работе сил на контуре на перемещениях, возникших при подрастании трещины. Перемещения вблизи вершины трещин описываются соответствующим асимптотическим законом: Изменение перемещений равно . При этом работа сил , действующих на площадках, касающихся контура ( -вектор нормали к контуру), определяется величиной:

2. Передвинем контур вдоль оси Х на . Энергия среды внутри контура изменится из-за входа и выхода точек среды с плотность внутренней энергии . Такое изменение можно рассчитать через контурный интеграл: .

Объединяя слагаемые , получим, что изменение энергии среды внутри контура , когда он перемещается вместе с вершиной трещины

Отсюда следует, что интеграл Райса равен удельной энергии , которая может пойти на подрастание трещины. Согласно (24) получаем связь коэффициентов интенсивности с . В случае нормального разрыва и плоской деформации имеем

В равновесном состоянии:

по критерию Гриффитса, и по Ирвину.

Из последнего равенства следует:

В расчетах удобно определять , подбирая нужным образом контур интегрирования.

Как пример, рассмотрим задачу о полубесконечной трещине в полосе, которая растягивается в поперечном направлении. Рассмотрим случай, когда края полосы расходятся на постоянную величину . Построим контур интеграла Рейса вдоль краев полосы( участки и ) и вдоль поперечных отрезков и . Причем такие отрезки возьмем достаточно далеко от вершины трещины, так чтобы напряженное состояние в окрестности отрезков мало отличалось от предельного значения напряженного состояния при .

Интегралы вдоль горизонтальных участков и равны нулю, так как на них . Интеграл по отрезку равен нулю, так как в области над разрезом далеко от вершины трещины среда разгружена полностью и там .

На отрезке имеем . Отсюда следует, что второе слагаемое в интеграле Райса равно нулю и, окончательно имеем: , где - ширина полосы. Остается выразить через заданные параметры задачи .

Воспользуемся законом Гука, записанным через модуль Юнга и коэффициент Пуассона.

.

Отсюда

Рассмотрим случай плоского деформированного состояния: . Так как вдоль полосы , имеем . В итоге , .

.

Отсюда имеем:

Задача: найти в случае плоского напряженного состояния:

Лекция 9 (2009)

Балочное приближение.

В задачах о расщеплении тонких полос и пластин можно использовать балочное приближение теории упругости, применяемое для описания деформирования тонких стержней, балок, пластин. Рассмотрим задачу о расщеплении тонкой полосы сосредоточенными силами . Для применения критерия Гриффитса, нам надо знать выражение упругой энергии отщепляемой балки в зависимости от ее длины и нагрузок. В балочном приближении такая зависимость определяется.

Уравнение изгиба балки:

(8.1)

Здесь - момент инерции площади поперечного сечения балки относительно нейтральной оси, - перемещение балки, - распределенная нагрузка на балку. Для балок прямоугольного сечения толщиной и шириной :

В сечении балки напряженное состояние характеризуется значением перерезывающей силы и моментом сил , которые через перемещение выражаются формулами: , .

Рассмотрим случай расщепления полосы сосредоточенными силами, приложенными на краю продольного разреза при . Граничные условия для определения перемещений в этой точке: , . В конце разреза при принимаем выполнение условий жесткой заделки : .

Общее решение уравнения (8.1) при : Постоянные можно найти из условия выполнения граничных условий

при : , , откуда следует

при : ,

Из последнего уравнения следует и из предыдущего:

Таким образом, полностью определено перемещение отщепляемых полос. Найдем их упругую энергию, как работу по раздвижению точек приложения сил при их возрастании от 0 до : , где - раскрытие разреза при : .

В итоге . Известно, что плотность энергии, высвобождающейся при развитии разреза . Отсюда: и (8.2)

Учитывая, что для балки прямоугольного сечения , где - ширина балки, ее толщина, имеем:

При определении последней зависимости мы использовали критерий Гриффитса. Найдем локальный силовой критерий развития трещины при использовании балочного приближения. Для этого опишем деформирование расщепляемых полос у вершины разреза. Здесь имеем и , . Отсюда, сохраняя 3 члена ряда Тейлора, имеем: , где . Рассмотрим изменения, которые происходят с полосами при удлинении разреза на . Перемещения в новом состоянии будут . Изменение перемещений вызовет изменение упругой энергии полос. Такое изменение можно рассчитать как работу момента и перерезывающей силы: . Знак – здесь из -за того, что работу совершают балки и их внутренняя энергия уменьшается.

Здесь

В итоге, сохраняя старший член по , получаем: и

. Полученное общее решение совпадает с найденным выше результатом (8.2) для частной задачи.

Задача: найти при нагружении расщепляемых полос постоянной распределенной нагрузкой .