Точные и приближенные значения кин в задачах с трещинами Подборка точных решений.

Прямолинейный разрез в безграничной плоскости. Однородное нагружение.

1. Задано давление

Для плоской деформации

Для плоского напряженного состояния

2. Задано поперечное сдвигающее усилие

Для плоской деформации

Для плоского напряженного состояния

3. Задано продольное сдвигающее усилие

Нагружение сосредоточенными силами

1. Прямолинейный разрез. Сила в центре.

, ,

Дисковая трещина радиуса в безграничном пространстве.

1. Постоянное внутреннее давление .

2. Сосредоточенная центральная сила

3. Постоянное давление на центральной круговой площадке радиуса

Взаимодействие трещин

Бесконечная цепочка одинаковых разрезов на оси Х. Нагружение давлением

L

2l

2l

2l

Решением задачи является комплексная функция, определяющая напряженное состояние плоскости с разрезами:

Используя представление можно получить для известную формулу:

. При имеем , что соответствует решению для одного разреза в бесконечной плоскости.

Рассмотрим случай нагружения сосредоточенными силами: и определим особенность поля у вершин трещин при , . .

Отсюда и (9.1)

При имеем , что соответствует решению об изолированном прямолинейном разрезе, нагружаемом центральными силами.

Величина критических сил, согласно (9.1) определяется формулой:

. Максимальное значение этих сил соответствует и равно

.

Графики и ) Приближенные значения кин

Система бесконечного числа параллельных трещин в плоскости, растянутой по вертикали напряжением .

D

,

A

ё

B

C

При

При исследуемую задачу можно приближенно свести к задаче о полубесконечной трещине в полосе (выделена на рисунке пунктиром), на краях которой касательные напряжения раны нулю и задано постоянное вертикальное смещение . КИН в такой задаче можно найти с помощью интеграла Райса.

, где контур С состоит из отрезков A, B, C, D

На горизонтальных отрезках контура интеграл равен 0, так как на них смещение постоянно и

Интеграл на отрезке А равен нулю, так как там (отрезок А находится далеко от кромки трещины и материал там разгружен разрезом)

Остается только интеграл по отрезку С. , Здесь . Для плоского напряженного состояния на отрезке С . Здесь учтено, что . В итоге и .

Полученные предельные значения КИН при малых длинах трещин и больших определяют качественно зависимость КИН от длины трещины. С увеличением длины трещины КИН растет пропорционально корню из длины, затем этот рост замедляется и КИН асимптотически выходит на постоянное значение, пропорциональное корню из расстояния между трещинами.

Задача: Найти КИН системы параллельных длинных трещин при плоской деформации.

Трещина длиной находится в полосе шириной , растягиваемой напряжением Р

Границы полосы свободны от напряжений. Отсюда следует, что

и . Последнее равенство выполняется на вертикальных

прямых, симметрично разделяющих трещины в бесконечной

линейной цепочке, рассмотренной выше. Отличие состоит в том, что

в линейной цепочке полоса в районе трещины дополнительно

растянута по оси Х. Так как такое растяжение слабо сказывается

на Величине КИН, можно принять, что и здесь

. Лучшие результаты дает использование при формулы:

Аналогичные формулы для КИН можно применить для оценки напряженного состояния боковых трещин длиной , выходящих на свободные границы полосы . Для известно: .