Распределение напряжений вблизи вершины трещины

Найдем, используя полученное решение угловое распределение напряжений вблизи вершины трещины нормального отрыва. Пусть , . При этом . Из (19¹) следует

.

Для того, чтобы найти напряжения при , надо согласно (17) найти . Из (19¹) : . (22)

Так как , где , то в выражении (22) для определения главного члена в ассимптотике нам нужно второе слагаемое порядка : .

В итоге имеем:

Вводя коэффициент интенсивности , получаем:

. Аналогично из и можно получить:

,

Для плоской деформации:

При

Максимальные касательные напряжения:

;

Изолинии максимальных касательных напряжений

Лекция 6

Локальные критерии разрушения для трещин отрыва, поперечного и продольного

(антиплоская деформация) сдвига

Асимптотики напряжений и смещений вблизи вершины трещины по линии, касательной к ней.

Трещины отрыва:

,

Трещина поперечного сдвига

, (23)

Трещина продольного сдвига

,

Эти выражения можно использовать для определения условий начала роста трещин по критерию Гриффитса.

Пусть в произвольном упругом теле имеется трещина. Тело нагружено силами . На части границ заданы смещения. Из решения упругой задачи о равновесном состоянии тела можно найти коэффициенты интенсивности напряжений . Подрастание трешины в ее вершине требует высвобождение механической энергии. Отнесенная к величине удлинения трещины, такая энергия определяется по формуле: ,

где первый член – работа внешних сил, второй – изменение упругой энергии тела. Ранее мы показали, что если заморозить смещения в точках приложения сил , то .

По Гриффитсу трещина находится в равновесии, если . Найдем удельное выделение энергии при подрастании трещины, используя ассимптотики напряжений и смещений. Для этого введем локальную систему координат с началом в вершине трещины и осью Х , направленной по касательной к трещине. В этой системе координат напряжения и смещения вблизи вершины трещины выражаются соотношениями (23). Удлиним трещину на , трещина раскроется дополнительно в интервале (0- ). Подсчитаем выделяющуюся при этом энергию. Рассмотрим переход от состояния до дополнительного разрушения к состоянию после удлинения трещины. При этом силы, удерживающие разрез в интервале (0- ) в сомкнутом состоянии и определяемые (23), уменьшаются до нуля , а смещения увеличиваются от нуля до асимптотических значений смещений, определяемых по (23) с учетом сдвига вершины трещины вдоль оси Х на . Выделившаяся энергия равна работе

.

Подставляя сюда асимптотические выражения (23) получаем:

Покажем, что . Этот интеграл равен половине интеграла по замкнутому контуру, охватывающему разрез от 0 до и проходящему по верхнему и нижнему берегам разреза по часовой стрелке. Значения подынтегральной функции на разных берегах разреза отличаются знаками, поэтому интеграл по контуру больше в два раза.

Такой интеграл находится через вычет подинтегральной функции в бесконечности: . При : , где возникает из-за выбора ветви, вычет в бесконечности равен коэффициенту при разложения в ряд Лорана

Отсюда вычет равен и .

Таким образом:

. (24)

Учитывая, что и в случае плоской деформации имеем для трещин отрыва в этом случае условие равновесного состояния :

. (25)

При плоском напряженном состоянии: (26)

Критерий Ирвина

Ирвин ввел величину - удельные затраты энергии на образования единицы площади трещины. При этом он к затратам добавил потери при пластическом деформировании возле вершины трещины: , причем если , то . Другая причина увеличения затрат на образование трещины – это развитие микротрещин вблизи вершины трещины. Последнее свойственно пластмассам и горным породам.

При из (24) для случая плоского деформирования следует:

. (25)

Отсюда критическая величина коэффициента интенсивности напряжений в вершине трещины: .

При этом условие равновесного состояния трещины Ирвина:

. (27)

В случае плоского напряженного состояния , (28)

где .

С использованием критерия Ирвина задача о равновесии тела с трещинами сводится к определению коэффициентов интенсивности напряжений (КИН). Для их определения используются аналитические и численные методы. При использовании численных схем приходится дробить сетки у вершины трещины или использовать специальные элементы, учитывающие корневой характер особенности полей напряжений и деформаций.

Критерий Новожилова.

Критерий Новожилова применяется для определения критических нагрузок для тел с трещинами, вырезами, выточками и другими концентраторами. Напряжения вблизи концентратора усредняются по некоторому, характерному для данного материала интервалу и сравниваются с величиной прочности тела . По Новожилову прочность тела сохраняется, если в любой точке тела

. (29)

Здесь - главные оси тензора напряжений. Для трещин интервал берется у вершины трещины на ее продолжении. Там , подставляя это выражение для напряжений в критерий, получаем условие устойчивости трещины: . Это условие аналогично критерию Ирвина. Критерий Новожилова более универсален. Он работает на разных концентраторах и на однородном поле напряжений.