Антиплоская деформация

Вернемся к нашим упругим задачам. Рассмотри для начала случай антиплоской деформации, при котором смещение является гармонической функцией. При этом остальные компоненты вектора смещения и определяемые ими напряжения равны нулю . Пусть имеется разрез вдоль оси X от -l до l. На обоих берегах разреза зададим сдвиговое усилие , вызывающее напряжение : . Требуется найти аналитическую функцию , реальная часть которой равна смещению , соответствующему заданным граничным условиям.

Из соображений симметрии напряжения симметричны относительно оси X, а смещения w и напряжения антисимметричны. Поэтому на продолжении разреза . Рассмотрим верхнюю полуплоскость. На ее границе имеем при .Введем в рассмотрение . Отсюда

при . Кроме этого будем искать решение непрерывное по перемещению в вершинах разреза и убывающее на бесконечности.

В итоге, для имеем смешанную задачу: при задано , на остальной границе полуплоскости известно, что .

Решение такой задачи дает формула Келдыша-Седова.

(11)

Проведем интегрирование при :

Рассмотрим , как функцию комплексных переменных и

Пусть . Проведем разрез плоскости между точками и . Выберем ветвь функции положительной на верхнем берегу разреза. Тогда . Контурный интеграл берется по контуру вокруг разреза, проходимому по часовой стрелке. Путь интегрирования деформируется в контур вокруг точки (против часовой стрелки) и в бесконечно удаленной точке (по часовой стрелке). Интеграл по равен Интеграл по равен

Множитель обусловлен выбором ветви, вычет в бесконечности равен коэффициенту при с обратным знаком

В итоге:

(12)

Отсюда видно, что при y=0 и -l<x<l , при

Интегрируя (12), имеем

.

Это решение справедливо во всей плоскости с разрезом. Радикал положителен при .

Найдем смещения при у=0 и -l<x<l:

Верхний берег разреза смещается за плоскость Z=0, нижний выступает вперед. При этом и сверху и снизу.

Сдвиговые напряжения при у=0 и определяются формулой:

Значения функции на оси

Отсюда при , при

-l 0 l

Напряжения стремятся к 0 при При имеем:

, отсюда

-коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины при антиплоском деформировании, - нагрузка на верхнем берегу разреза ( ).

Определим распределение напряжений у вершины трещины.

Вблизи вершины и

. Знак в этой формуле выберем из условия, что на верхнем берегу разреза при : . В этом случае

При

Отсюда следует: ,

Комплексное представление решений плоской теории упругости.

Рассмотрим случай плоской деформации и выразим функцию Эри через 2 аналитические функции. Так как функция Эри удовлетворяет бигармоническому уравнению, лапласиан от нее является гармоническим.

Обозначим гармоническую функцию через и сопряженную к ней через . Введем и рассмотрим первообразную этой функции

,

Ее производная:

Отсюда

,

Покажем, что функция гармоническая.

Найдем

В итоге:

, откуда

Отсюда , где .

Здесь

После преобразования получаем:

. Отсюда:

И

(13)

Перейдем к представлению напряжений:

По формулам (6)

Используя (13), получим

,

Складывая эти уравнения и вычитая первое из второго, получаем

(14)

или при переходе к сопряженным величинам имеем

(15)

Аналогично, используя закон Гука и интегрируя деформации, можно получить комплексное представление перемещений:

(16)

для плоской деформации

для плоского напряженного состояния.

Эти представления были получены Г.В.Колосовым в 1909 г. и эффективно использованы Мусхелишвили, который развил методы теории функций комплексного переменного для решения широкого класса плоских задач теории упругости.