Лекция 3
Постановки задач теории упругости для тел с трещинами.
Согласно концепции Гриффитса для определения критических условий при нагружении тел с трещинами необходимо найти удельное высвобождение упругой энергии при виртуальном развитии трещины. Это можно сделать в рамках теории упругости, решая задачу по определению напряженного состояния тел с трещинами под нагрузкой. Такие задачи по постановке разделяются на трехмерные – пространственные и двухмерные – плоские. Мы подробно остановимся на более простых, но важных для практики - последних.
В общем случае деформации упругого тела описываются векторным полем смещений , компоненты которого будем обозначать как
.
Соответственно и координаты будут:
Напряженное состояние упругого тела характеризуют тензоры напряжений и деформаций. Последний выражается через вектор смещений следующим образом:
(1)
Для упругого тела компоненты тензоров напряжений и деформаций связаны законом Гука:
,
или в перемещениях:
(2)
Компоненты тензора напряжений, как функции координат удовлетворяют уравнениям равновесия:
,
(3)
В итоге при описании деформированного состояния упругого тела в трехмерном случае имеем 9 уравнений (2) и (3) для 9 неизвестных функций – компонент тензора напряжений и вектора смещений. Постановку задачи завершает формулировка граничных условий. Обычно рассматриваются следующие варианты.
1. На границе области
задан вектор напряжений внешних сил
,
который выражается через компоненты
тензора напряжений и внешней единичной
к границе нормали:
.
2. На границе заданы
смещения:
3. На части границы задаются напряжения, на части смещения.
Подробнее это рассмотрим на примере плоских задач теории упругости.
Обобщенным плоским состоянием называется такое, при котором зависит от двух переменных, например:
Удобно разделить такое поле на два
- плоское состояние
-
антиплоское состояние.
Первое поле
описывает плоское деформированное
состояние длинных цилиндров под действием
соответствующих нагрузок и деформации
пластин в их плоскости (плоское
напряженное состояние). Ось
в этих случаях расположена вдоль оси
цилиндра и перпендикулярно пластине.
При плоской деформации имеем:
,
Отсюда из (2) следует:
,
где объемное
расширение
Ненулевые компоненты тензора деформаций имеют вид
Ненулевые компоненты тензора напряжений:
,
где
(4)
В случае плоского
напряженного состояния (пластина со
свободными гранями) предполагается,
что,
.
Отсюда из (2) следует
и
Исключая
из (2), получаем
Из сравнения с (4)
следует, что в случае с плоским напряженным
состоянием в законе Гука параметр
заменяется
на
.
В случае плоского
состояния из (4) при отсутствии массовых
сил имеем в переменных
уравнения
равновесия:
Для завершения
постановки задачи необходимо выписать
граничные условия на границе области
занятой упругим телом. На границе могут
быть заданы компоненты вектора
поверхностных сил, приложенных к границе
(первая
краевая задача) или смещений
(вторая
краевая задача). В смешанной задаче
теории упругости на одних участках
границы задаются силы на других -
смещения.
Компоненты
поверхностных сил (
)
связаны с тензором напряжений и нормалью
к
границе следующим образом:
или
(5)
При антиплоской
деформации упругого тела отлична от
нуля только компонента
и компоненты тензора деформаций:
и
При этом отличны от нуля компоненты тензора напряжений:
,
(6)
Уравнение равновесия в отсутствии внешних сил одно:
или в перемещениях:
,
то есть перемещение
удовлетворяет
уравнению Лапласа и является гармонической
функцией.
Граничные условия антиплоской задачи:
Наглядное представление о смещениях при антиплоской деформации дает пример сдвигания листов в стопке бумаги ( ось Z ориентирована по направлению сдвига)
Задача:
Внутри круга с центром в начале координат
и единичным радиусом задано смещение
.
Найти распределение сдвигающего
напряжения на границе круга в виде
функции от угловой координаты
.
Решение:
;
;
;
:
Комплексные представления
Для решения плоских и антиплоских задач эффективно используются комплексные переменные. При этом решения ищутся в виде аналитических функций.
Уравнения равновесия
при плоском напряженном состоянии
удовлетворяются, если выразить напряжения
через функцию Эри
:
,
,
(7)
Компоненты тензора
напряжений кроме уравнений равновесия
должны удовлетворять еще уравнению,
которое следует из условия совместности
деформаций
Из этого уравнения следует, что функция напряжений Эри является бигармонической и удовлетворяет уравнению
Гурса в 1898 г. показал, что любую бигармоническую функцию можно выразить через две аналитические функции комплексного переменного.
Функции комплексного
переменного широко используются в
задачах гидродинамики, электростатики,
фильтрации, всюду, где решение описывается
гармоническими функциями. Объясняется
это тем, что у любой дифференцируемой
в некоторой области, т.е. аналитической
функции комплексного переменного
,
где
,
действительная и мнимая части являются
гармоническими функциями переменных
:
Это связано с тем, что существование производной означает существование предела
При чем, такой предел не зависит от пути предельного перехода.
Возьмем h действительным: h=s,
Найдем теперь тот же предел при h=is, т.е. рассмотрим предельный переход, приближаясь к точке z вдоль мнимой оси:
Приравнивая полученные выражения, получим условия Даламбера-Эйлера
: 
(8)
Из этих условий
дифференцируемости функции комплексной
переменной и следует гармоничность
,
что проверяется простой проверкой.
Такая пара функций считается сопряженной
и каждая из них может быть найдена по
второй интегрированием (8)
Рассмотрим 2 примера:
Рис. 3
Легко проверяется,
что действительные и мнимые части этих
функций гармонические. Первая из них
определяет, например, течение идеальной
жидкости в угле, уравнение линий тока
которого:
(Рис.3)