Тема 6. Применение метода экстраполяции к непрерывным математическим моделям (на примере дифференциального уравнения).

Дифференциальные уравнения часто выступают в качестве непрерывных математических моделей для многих прикладных задач. В некоторых случаях требуется не только найти решение дифференциального уравнения, но и определить для этого решения экстраполированное значение зависимой переменной при указанном значении независимой переменной.

Пример 6.1.

Для проведения оздоровительной процедуры в соляной ванне используются баки с соляным раствором. В первом баке находилось 100л. раствора, содержащего 10кг соли. В него втекает 5л. воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально заполненный чистой водой. Избыток жидкости из него выливается. Какое количество соли во втором баке будет наибольшим?

Решение.

Пусть Q₁(t), Q₂(t) – количество соли в кг в первом и втором баке соответственно в момент времени t от начала переливания, – время переливания соли из первого бака во второй, а также время выливания соли из второго бака.

Тогда имеем

(

;

где

Из последнего уравнения получим при

, откуда

.

Поскольку Q₁(0) =10, то решение задачи

.

Аналогично, используя первое уравнение для Q₂(t),

имеем

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его частное решение Q₂(t) находится при условии Q₂(0)=0.

Исследуя функцию Q₂(t) на экстремум, найдем сначала максимальное время t_max, а затем уже экстраполированное значение Q_2max=Q₂( t_max).

Контрольное задание №1

1.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	12 10	18 16	25 20

2.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	12 12	18 16	25 20

3.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	15 20	20 20	20 25

4.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	20 25	12 10	25 10

5.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	20 25	16 25	20 20

6.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	20 20	16 25	20 25

7.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	12 20	18 16	25 25

8.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	20 16	20 24	20 25

9.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	20 20	10 24	20 25

10.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	20 20	24 10	20 25

11.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	13 11	19 17	26 21

12.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	13 13	19 17	26 21

13.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	16 21	21 21	21 26

14.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	21 26	13 11	26 11

15.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	21 26	17 26	21 21

16.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	21 21	17 26	21 26

17.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	13 21	19 17	26 26

18.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	21 17	21 25	21 26

19.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	21 21	11 25	21 26

20.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	21 21	25 11	21 26

21.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	14 12	20 18	27 22

22.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	14 14	20 18	27 22

23.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	17 22	22 22	22 27

24.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	22 27	14 12	27 12

25.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	22 27	18 27	22 22

26.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	22 22	18 27	22 27

27.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	14 22	20 18	27 27

28.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	22 18	22 26	22 27

29.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	22 22	12 26	22 27

30.

Вид акции	Ожидаемая доходность i,%	Среднее квадратическое отклонение от доходности , %	Рыночная цена акции p, руб.
1 2	22 22	26 12	22 27

Контрольное задание №2

На трех складах А₁, А₂, А₃ хранится а₁=70, а₂=200, А₃=50+10k единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям B₁, B₂, B₃, заказы которых составляют b₁=190+5k, b₂=120 и b₃=5k=10 соответственно. Стоимость cij перевозок единиц груза с i –го склада j-му потребителю указаны в правых верхних углах соответствующих клеток распределительной таблицы:

	B1	B2	B3	aI
A1	4	2	l +2	70
A2	l	5	3	200
A3	1	l +1	6	50+10k
bj	190+5k	120	5k+10

Используя метод потенциалов, составить оптимальный план X^*, обеспечивающий минимальную стоимость перевозок

f _min = f (X^*) и найти эту стоимость.

Числовых данных параметров k и l определяются по двум последним цифрам своего шифра (А – предпоследняя цифра, В - последняя цифра). Значение параметра k выбирается из таблицы 1, а значение параметра l - из таблицы 2. Эти два числа k и l и нужно подставить в условия контрольного задания.

Таблица 1 (выбор параметра k)

A	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
k	1	2	3	4	5	1	2	3	4	5

Таблица 2 (выбор параметра l)

B	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
l	3	5	4	2	1	5	4	1	3	2

Например, если шифр студента 1604 – 037, то А=3, В=7, и из таблиц находим, что k=4, l=1.

Контрольное задание № 3

В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью

=81 чел./час. Средняя продолжительность обслуживания кассиром одного покупателя ₂ = 2

Определить:

1. минимальное количество n_min кассиров, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие показатели эффективности при n=n_min;

2. оптимальное количество n_опт кассиров, при котором относительная величина затрат C_отн= будет минимальна при условии, что

n ≤ 7.

час, 2. час,

час, 4. час,

час, 6. час,

час, 8. час,

час, 10. час,

час, 12. час,

час, 14. час,

час, 16. час,

час, 18. час,

час, 20. час,

час, 22. час,

час, 24. час,

час, 26. час,

час, 28. час,

час, 30. час,

Контрольное задание № 4

Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую логично сразу отправить потребителю (стратегия А₁) или подвергнуть дополнительной обработке для длительного хранения (стратегия А₂). Потребитель может немедленно приобрести продукцию (стратегия В₁) или после длительного периода времени ( стратегия В₂), Проверить имеет ли данная игра 2×2 нулевую точку и если нет. То найти решение игры в смешанных стратегиях. Матрица затрат (платёжная матрица) Р = .

В задачах с нечетными номерами найти аналитическим методом, и - геометрическим методом. В задачах с четными номерами найти методом, и - аналитическим методом.

Контрольное задание №5

Данные по объему выпускаемой продукции предприятия (тыс.штук) в течение четырех лет представлены в таблице в виде временного ряда. Определить точечный и интервальный прогноз по объему продукции на указанный год, если:

год	1994	1995	1996	1997
	28	26	27	25

Время прогноза -2003 год

3.

год	1995	1996	1997	1998
	22	28	23	20

Время прогноза -2007 год

5.

год	1998	1999	2000	2001
	25	29	30	31

Время прогноза -2009 год

2.

год	1996	1997	1998	1999
	23	25	29	30

Время прогноза -2006 год

4.

год	1997	1998	1999	2000
	30	31	28	27

Время прогноза -2008 год

6.

год	1999	2000	2001	2002
	21	30	18	31

Время прогноза -2010 год

7.

год	2004	2005	2006	2007
	18	21	25	20

Время прогноза -2015 год

9.

год	2002	2003	2004	2005
	25	22	30	21

Время прогноза -2010 год

11.

год	1995	1996	1997	1998
	29	27	28	26

Время прогноза -2004 год

13.

год	1996	1997	1998	1999
	23	29	24	21

Время прогноза -2008 год

15.

год	1999	2000	2001	2002
	26	30	31	32

Время прогноза -2010 год

17.

год	2005	2006	2007	2008
	19	22	26	21

Время прогноза -2015 год

19.

год	2003	2004	2005	200
	26	23	31	22

Время прогноза -2010 год

21.

год	1996	1997	1998	1999
	30	28	29	27

Время прогноза -2005 год

8.

год	1997	1999	2000	2001
	24	30	25	22

Время прогноза -2009 год

10.

год	2003	2004	2005	2006
	30	25	28	31

Время прогноза -2010 год

12.

год	2000	2001	2002	2003
	27	31	23	30

Время прогноза -2011 год

14.

Год	1997	1998	1999	2000
	24	26	30	31

Время прогноза -2007 год

16.

год	1998	1999	2000	2001
	31	32	29	28

Время прогноза -2009 год

18.

год	2004	2005	2006	2007
	31	26	29	32

Время прогноза -2011 год

20.

Год	2000	2001	2003	2004
	22	31	19	32

Время прогноза -2011 год

22.

год	2001	2002	2003	2004
	28	32	24	31

Время прогноза -2012 год

23.

Год	1998	1999	2000	2001
	25	27	31	32

Время прогноза -2008 год

24.

год	1999	2000	2001	2002
	32	33	30	29

Время прогноза -2010 год

26.

год	2000	2001	2002	2003
	27	31	32	33

Время прогноза -2011 год

28.

год	2006	2007	2008	2009
	20	23	27	22

Время прогноза -2017 год

30.

год	2004	2005	2006	2007
	27	24	32	23

Время прогноза -2012 год

25.

год	2001	2002	2003	2004
	23	32	20	33

Время прогноза -2012 год

27.

год	2005	2006	2007	2008
	32	27	30	33

Время прогноза -2012 год

29.

год	2002	2003	2004	2005
	29	33	25	32

Время прогноза -2013 год

Контрольное задание №6

В баке находится «а» л. Раствора, содержащего «в» кг соли. В бак втекает «с» л. Воды в минуту, причем смесь с той же скоростью переливается в другой «а» литровый бак, первоначально заполненный чистой водой. Избыток жидкости из него выливается. Какое количество соли во втором баке будет наибольшим?

1. a=100, b=10, c=3 2. a=200, b=10, c=5

3. a=150, b=10, c=2 4. a=250, b=20, c=10

5. a=200, b=20, c=5 6. a=100, b=10, c=2

7. a=250, b=20, c=5 8. a=300, b=40, c=10

9. a=150, b=10, c=5 10. a=100, b=5, c=2

11. a=105 b=115 c=5 12. a=205 b=15 c=10

13. a= 155 b= 15 c= 7 14. a=255 b=25 c=15

15. a= 205 b= 25 c=10 16. a=105 b=15 c=7

17. a= 255 b= 25 c=10 18. a= 305 b= 45 c=15

19. a=155 b= 15 c=10 20. a=105 b=10 c=7

21. a= 110 b= 20 c=13 22. a=210 b=20 c=15

23. a= 160 b= 20 c= 12 23. a=260 b=30 c=20

25. a=220 b= 30 c=15 26. a=110 b= 20 c=12

27. a= 260 b= 30 c=15 27. a=310 b= 50 c=20

29. a=160 b= 20 c=15 30. a= 110 b= 15 c= 12

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

а) основная литература:

1. Бережная В.Е., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. – М.: Финансы и статистика,2006.- 432 с.

2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ, 2007.- 551 с.

3.Минько Э.В., Минько А.Э. Методы прогнозирования и исследования операций. – М.: Финансы и статистика,2010. – 480 с.

4. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы. – М.: ФОРУМ – ИНРРА- М, 2009.- 464 с.

б) дополнительная литература:

1. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. – М.: КомКнига, 2007.- 192 с.

2. Никитин С.И. Классические методы оптимизации социально-экономических процессов сферы сервиса. – СПб.: ГУСЭ,2010. – 151с.

3. Хемди А.Таха. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2007.- 912 с.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

algebraik.ru – математическая энциклопедия, matem.h1.ru – формулы и справочная информация по математике, mathnet.ru – общероссийский математический портал, statsoft.ru – статистический портал.

44