Тема 3. Определение показателей эффективности системы массового обслуживания (на примере многоканальной системы с неограниченной очередью).

При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами для многократного использования при решении задач. Возникающие при этом процессы называются процессами обслуживания, а системы – системами массового обслуживания.

Каждая такая система состоит из определенного числа обслуживающих единиц – каналов, а заявки, поступающие в систему массового обслуживания, образуют случайный поток.

Процесс работы системы массового обслуживания представляет собой случайный процесс с дискретным состоянием S_0, S_1…, в которые она переходит скачками.

При анализе случайных процессов удобно пользоваться ориентированными графиками состояний.

Поток поступающих заявок характеризуется интенсивностью , то есть средним числом заявок, поступающих на канал в единицу времени.

Обычно рассматривается простейший поток, который является стационарным, регулярным и не имеет последствия.

Среднее относительное время пребывания системы массового обслуживания в состоянии Si определяется с помощью предельной вероятности pi. Наряду с потоком заявок интенсивности рассматривается также простейший поток обслуживания заявок каналом интенсивности .

Системой массового обслуживания с неограниченной очередью называется такая система, в которой заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание, причём, размер очереди заранее неизвестен.

n- канальная система с неограниченной очередью может находиться в одном из состояний S_0, S_1….,S_n…, S_nn…, нумеруемых по числу заявок:

S₀– в системе нет заявок;

S₁– занят один канал, остальные свободны;

...........................................................................

S_n – заняты все nканалов ( очереди нет);

....................................................................

S_n+r – заняты все nканалов, в очереди r заявок;

...................................................................................

Граф состояний системы представлен на рис. 3.1.

S₀ S₁ S_n S_n+2

λ λλλλλ

… µ 2µ ... nµ nµ… nµ nµ nµ

Рис. 3.1

Предельные вероятности состояний вычисляются по следующим формулам

^-2 (3.1)

p_{1 =} (3.2)

p_n+1= (3.3)

где

Величина называется интенсивностью нагрузки канала и выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки.

При предельной вероятности pi существуют, в противном случае очередь растёт до бесконечности. Помимо предельных вероятностей к основным показателям эффективности работы такой системы относятся:

вероятность появления заявки в очереди

среднее число заявок в очереди

P₀₄ = (3,4)

среднее время пребывания заявки в очереди

L₀₄= (3,5)

Среднее время пребывания заявки в очереди

T₀₄ = L_{04 (3,6)}

среднее число заявок в системе

L_сист =L₀₄ + (3,7)

среднее время пребывания заявки в системе

= (3.8)

доля заметных обслуживанием каналов

= (3.9)

Пример 3.1.

В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью

=81 чел./час. Средняя продолжительность обслуживания кассиром одного покупателя ₂ = 2

Определить:

1. минимальное количество n_min кассиров, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие показатели эффективности при n=n_min;

2. оптимальное количество n_опт кассиров, при котором относительная величина затрат C_отн= будет минимальна при условии, что

n ≤ 7.

Решение.

=81 1/час = 81/60 =1,351/мин., μ= =0,51/мин, откуда 1,35/0,5 = 2,7.

Очередь не будет возрастать если /n следовательно, n>ρ= 2,7. Таким образом, минимальное количество кассиров = 3.

Найдем показатели эффективности при . Вероятность того, что в узле расчета будут отсутствовать покупатели, равно =(1+2,7+ /2!(2,7)³/3!+(2.7)⁴/3!(3-2,7))^-1=0,025 (см. формулу (3.1)). Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, среднее число покупателей, находящихся в очереди и средние время ожидания в очереди определяются по формулам (3.4) – (3.6):

0,025= 0,735

₀₄ = ((2,7)⁴/3 1-2,7/3)²0,025=7,35

T₀₄=7,35/1,35=-5?44(мин).

Показатели эффективности пребывания покупателей в узле расчёта

находятся по формулам (3,7), (3,8):

L_сист= 7,35+2,7=10,05

Т_сист= 10,05/1,35=7,44(мин)

Наконец, среднее число кассиров, занятых обслуживанием покупателей

= 2,7/3=0,9 ( см. формулу (3.9)).

Таким образом, при наличии только трёх кассиров узел расчета значительно перегружен.

Относительная величина затрат при равно =3/1,35+3·5,44=18,54.

Рассчитав относительную величину затрат при других значениях результаты можно записать в таблицу:

n	3	4	5	6	7
Cотн	18,54	4,77	4,14	4,53	5,22

Из таблицы видно, что минимальные затраты могут быть получены при n = n_опт = 5 кассирах.

Полученная информация может быть использована дирекцией универсама для проведения в дальнейшем реорганизационных работ.