8. Наращение по сложным процентам. Основная формула. Множитель наращения.
Расчет по схеме сложных процентов на основе годовой процентной ставки заключается в том, что кредитор за каждый год предоставленного кредита получает процентные деньги, которые составляют i процентов от всех накоплений к началу этого года суммы долга (с учетом процентных денег). Проценты начисляются на переменную во времени базу, т. е. проценты начисляются на проценты. Сумма, возвращаемая заемщиком кредитору (с учетом процентных денег за пользование кредитом по схеме сложных процентов с годовой процентной ставкой i в течение n лет определяется соотношением S=P*(1+i)^n=P*kн, где S-наращ. сумма долга; P-первоначальная сумма долга; kн=(1+i)^n-коэффициент (множитель) наращения сложных процентов, который табулирован. Данная формула называется формулой наращения по сложным процентам.
9. Сложные проценты: наращение при дробном числе лет. Распределение процентов по периодам.
При дробном числе лет возможны два способа вычисления:
- Общий метод, заключающийся в прямом расчете по формуле S=P*(1+i)n, где n - дробное число;
- Комбинированный (смешанный) метод, предполагающий для целого числа лет срока начисления процентов использование формулы сложных процентов, а для дробной части года - формулы простых процентов:
S=P*(1+i)a*(1+b*i),
где a - целое число лет, b - дробная часть (n=a+b)
Часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к последнему периоду. Возникает задача распределения начисленных процентов по периодам.
Общий срок ссуды делится на два периода n1 и n2. Соответственно,
I=I1+I2,
где I1=P((1+i)n1-1);I2=P(1+i)n1*((1+i)n2-1)=P((1+i)n-(1+i)n1).
10. Сложные проценты: переменные процентные ставки. Сравнение силы роста простых и сложных процентов.
Ставка процентов не является застывшей на вечные времена величиной, поэтому в финансовых операциях предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки (переменные или изменяющиеся или плавающие). Например, из-за инфляции собственник денег вынужден периодически варьировать процентной ставкой.
Простые
проценты:
),
где
P – первоначальная сумма (ссуда);
k – количество периодов начисления;
nl – продолжительность l-го периода;
il – ставка процента в l-м периоде;
kн
=
– множитель наращения
Сложные
проценты:
При
условии, что временная база для начисления
процентов одна и та же, выполняются
соотношения:
1)
для срока меньше года
(n <
1) простые проценты больше сложных:
,
здесь is –
ставка простых процентов;
2)
для срока больше года
(n >
1) сложные проценты больше простых:
;
3)
для срока, равного году (n =
1), множители наращения равны друг
другу:
Формулы
удвоения:
–
по простым процентам: 
;
–
по сложным процентам: 
.
11. Номинальная процентная ставка. Эффективная ставка процентов. Понятие эквивалентности процентных ставок.
Номинальная ставка (j) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.
Пусть j – номинальная годовая ставка процентов. Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит N = n*m.
Номинальная ставка не отражает реальной эффективности сделки и не может быть использована для сопоставлений.
Наряду с номинальной ставкой существует эффективная ставка, измеряющая тот реальный относительный доход, который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовой наращение в год по ставке j/m и находится путем приравнивания соответствующих множителей наращения.
Эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.
Эквивалентные процентные ставки — это такие процентные стачки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.
Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.
Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности, принцип составления которых заключается в следующем. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма На основе равенства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.
12. Дисконтирование по сложной ставке.
,где
kд
=
kд – дисконтный множитель для сложных %-ов. Если начисление %-ов происходит m раз в год, то формула примет вид:
Современная величина (P) и %-ая ставка, по которой проводится дисконтирование находятся в обратной зависимости: чем выше %-ая ставка, тем (при прочих равных условиях), ниже современная величина. Современная величина и срок финансовой операции находятся в той же обратной зависимости. Чем выше срок финансовой операции, тем ниже (при прочих равных условиях) современная величина.
13. Сложные проценты: определение срока ссуды, размера процентной ставки.
14. Непрерывные проценты. Эквивалентность сложной и непрерывной ставок.
Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:
Поскольку
проценты начисляются непрерывно, то m
стремится к бесконечности, а коэффициент
(множитель) наращения стремится к
,
где e≈2,718281
(число Эйлера, одно из важнейших постоянных
матанализа).
Формула наращенной суммы для n лет:
Ставку
непрерывных процентов называют силой
роста (интенсивностью наращения) (forse
of
interest)
и обозначают символом
,
в отличии от ставки дискретных процентов
j.
Эквивалентность между и i
и
Эквивалентность
между
и
и
15. Средние процентные ставки. Случай переменных ставок; случай переменных ставок и размеров ссуд.
Ставка в контракте может время от времени меняться. Для определения выгодности такого контракта, сравнения его с другими в смысле доходности можно найти среднюю процентную ставку, которая дает тот же результат наращения или дисконтирования.
Случай переменных ставок.
а) простые ставки
,
где
– простая
ставка за период
– общий
срок сделки
Таким
образом,
есть средняя арифметическая взвешенная
с весами, равными продолжительности
отдельных периодов.
Аналогично находится дисконтная ставка:
б) сложные ставки
Случай переменных ставок и размеров ссуд
Если изменяются не только ставки, но и размеры ссуд, то в общем случае решение затруднительно.
Несложное
решение можно найти в частном случае,
когда сроки
одинаковы и равны n.
Тогда, для простых ставок:
для сложных ставок:
16. Эквивалентные ставки. Эквивалентность простой и сложной процентной ставок, ставки простого процента и простого дисконта.
Эквивалентная процентная ставка – это ставка,которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат, что и применяемая в этой операции ставка.
Эквивалентность
простой
и
сложной ставкой
и
Простого
процента
и простого дисконта
и
и
и
и
