10. Бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно больших функций. Вязь между бесконечно малыми и бесконечно большими.

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНКЦИЯ - функция переменного х, к-рая в данном процессе изменения х становится и остается по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа.

Пусть   и   – бесконечно большие функции при  x → a. Рассмотрим возможные значения предела отношения этих функций:

Если   , то функции   и   называются бесконечно большими одного и того же порядка.        Функции   и   называются эквивалентными бесконечно большими при  x → a, если  λ = 1. Для записи эквивалентности функций используется обозначение вида

      Функция   называется бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с   при  x → a, если  λ = ∞; при этом говорят, что   имеет меньший порядок роста.        Если   и     представляют собой бесконечно большие функции одного и того же порядка, то функция   называется бесконечно большой n-го порядка по сравнению с  . Например, функция     является бесконечно большой 4-го порядка по сравнению с     при  x → ∞.        Если  λ = 0, то бесконечно большие функции   и   меняются своими ролями. В этом случае функция   является бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с   при  x → a. 

Связь большой и малой.

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Примеры.

1. .

2. .

3. , так как функции  и  - бесконечно малые при x→+∞, то  , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же  является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

11. Непрерывность функции в точке и области, нарушения непрерывности, точки разрыва и их классификация.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x₀) точки x₀ (включая саму точку x₀).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если существует lim_x → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:

lim x → x0  f(x) =

 

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой этой точки. Точка x0 называется точкой разрыва функции f, если функция f не определена в точке x0 или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Если x0 – точка разрыва функции f и существуют конечные односторонние пределы    и  , то точка x0 называется точкой разрыва первого рода.

Величина   называется скачком функции f в точке x0. Если скачок функции f в точке разрыва x0 равен нулю, т. е.  , то x0 называется точкой устранимого разрыва.

Последний термин оправдан тем, что если в этом случае переопределить или доопределить (если функция f была не определена в точке x0) функцию f, положив

  ,

то получим непрерывную в точке x0 функцию.

Точка разрыва функции, не являющаяся её точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.

Очевидно, что в точках разрыва второго рода по крайней мере один из пределов   или   не существует. Здесь под пределом, как обычно, понимается лишь конечный предел.