3. Определение предела функции в точке.

4. Определение предела функции при х -> бесконечности

5. Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

 Þ  .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

 Þ  .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при  , то и алгебраическая сумма имеет предел при  , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при  , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при  ,

причем  , то и их частное имеет предел при  , причем предел частного равен частному пределов.

,  

6. Первый замечательный предел.

Так называют легко выводимую в курсе математического анализа формулу

,

где аргумент х измеряется в радианах.

Из первого замечательного предела следует эквивалентность при х →0 следующих бесконечно малых величин: ах, sinax; tgax; arcsinax; arctgax. Это означает, что предел отношения двух любых из этих функций при х →0 равен 1.

С помощью этого соотношения можно вычислить массу других неопределенностей, которые без применения первого замечательного предела вычислялись бы сложнее.

7. Второй замечательный предел.

В теории пределов так называется каждое из трех равенств: , где е = 2,71828… – как доказано в 1873 г. французским математиком Ш. Эрмитом, трансцендентное число, основание натуральных логарифмов, говорят также неперово число (названо в честь шотландского математика Непера; как считают многие современные исследователи, необоснованно).

8. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций.

Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности (a-,a+), >0, точки a ,  за исключением, быть может, самой точки a. Функция f(x) называется бесконечно малой при x, стремящемся к a, если

   Пусть   и   — бесконечно малые при  . 1. Если  , то говорят, что   является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с  . В этом случае пишут  . 2. Если  , где  —число, отличное от нуля, то говорят, что   и  — бесконечно малые одного и того же порядка. В часности, если  , то бесконечно малые   и   называются эквивалентными. Запись  ~  означает, что   и  —эквивалентные бесконечно малые.          Если  , то это означает, что  . Таким образом,   является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с  , т. е.  3. Если   и  —бесконечно малые одного и того же порядка, причем  , то говорят, что бесконечно малая   имеет порядок   по сравнению с  . Отметим некоторые свойства бесконечно малых величин: 1^o. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями, т. е. если  , то   и  . 2^o. Бесконечно малые   и   эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность  является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с   и  , т. е. если  ,  . 3^o. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой, т.е. если  ,  ~ ,  ~ , то  .         Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых величин:  если  , то

~           ~            ~           ~ ~            ~             ~ 

9. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

α ( x ) → 0

1	sinα(x)~α(x)
2	arcsinα(x)~α(x)
3	tgα(x)~α(x)
4	arctgα(x)~α(x)
5	loga(1+α(x))~(logae)α(x)
6	ln(1+α(x))~α(x)
7	aα(x)-1~α(x)lna,a>0,a≠1
8	eα(x)-1~α(x)
9	(1+α(x))μ-1~μα(x)
10	1+α(x)n-1~α(x)n
11	1+α(x)-1~α(x)2
12	1-cosα(x)~12α2(x)