1. Множества и элементарные операции над ними.

Множеством называется некоторая совокупность элементов, объединенных по какому-либо признаку. Если существует такая совокупность, представляющая собой единое целое, то говорят, что имеют дело с множеством. Приведенное определение не может рассматриваться как математически строгое, поскольку понятие множества является исходным, на основе него строятся остальные понятия математики. Тем не менее, из приведенного определения ясно, как можно говорить о множестве, например, действительных чисел или множестве плоских фигур.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись  a   R  означает, что элемент  а  принадлежит множеству R , то есть  а  является элементом множества R . В противном случае, когда  а  не принадлежит множеству  R , пишут  a   R .

Операции над множествами:

1. Сумма (объединение)

2. Разность

3. Произведение (пересечение)

Понятие функции одной переменной. График функции. Область определения.

Если каждому значению х числового множества X по правилу f соответствует единственное число множества Y, то говорят, что на числовом множестве X задана функция у = f(x), x   X. В этом случае х называется аргументом, у - значением функции. Множество X называется областью определения функции, Y - множеством значений функции.

Способы создания функции одной переменной:

1. Аналитический

2. Графичиский

3. табличный

Графиком функции у — f(x) называется множество точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению у = f(x).

2. Числовая последовательность и ее предел.

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Предел последовате льности— это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Существует несколько способов задания числовых последовательностей:

1. Последовательность может быть задана при помощи формулы, позволяющей вычислить каждый ее член по номеру (например,   ).

2. Часто последовательность задается при помощи рекуррентной формулы, позволяющей определить каждый член последовательности по одному или нескольким предыдущим; при этом необходимо задание одного или нескольких первых членов последовательности. К таковым относятся арифметическая и геометрическаяпрогрессии или, например, последовательность Фибоначчи, задаваемая формулой

   xn + 2 = xn + 1 + xn при n > 0

3. и условиями x₁ = 1, x₂ = 1.

4. Иногда последовательность задается описанием ее членов, например, последовательность, у которой x_n равен n-му знаку после запятой в десятичной записи числаπ = 3,14159265358979323..., задается следующим образом: x₁ = 1, x₂ = 4, x₃ = 1, x₄ = 5, x₅ = 9, x₆ = 2, x₇ = 6, x₈ = 5, x₉ = 3, x₁₀ = 5 и т. д.