36. Нормальный закон.

Нормальный закон распределения (или распределение Гаусса) задается следующей дифференциальной функцией  - параметры.

Рис. 56

 = а -  , x  = а +   - точки перегиба. Нормальный закон распределение Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равн , где m - математическое ожидание случайной величины; σ² - дисперсия случайной величины, характеристика рассеяния значений случайной величины около математического ожидания. Условием возникновения нормального распределения являются формирование признака как суммы большого числа взаимно независимых слагаемых, ни одно из которых не характеризуется исключительно большой по сравнению с другими дисперсиями. Нормальное распределение является предельным, к нему приближаются другие распределения. Математическое ожидание случайной величины Х. распределено по нормальному закону, равно m_x = m, а дисперсия D_x = σ². Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервале(α, β) выражается формулой где  - табулированная функция.

37. Производящие функции.

Производящая функция — это бесконечный ряд

коэффициенты которого порождают (производят, генерируют) последовательность чисел a₀, a₁, a₂, … Тот факт, что коэффициент a_nявляется множителем при zⁿ обозначают следующим образом:

Замечательная особенность производящих функций заключается в том, что они часто могут быть записаны в компактном виде. Например, если a₀=a₁=…=1, то

Другой пример: если a_n=n, то

Таким образом, если решением некоторой задачи является последовательность, то часто сначала получают производящую функцию, чтобы затем для этой последовательности указать явную формулу.

Рассмотрим абстрактный пример. Пусть в некоторой задаче удалось отыскать закономерность

То есть обнаружилась последовательность 1, 7, 19, 43, 91, 187,…, удовлетворяющая рекуррентному соотношению. Требуется вывести общую формулу для a_n, n≥0. В этом случае говорят «решить рекуррентное уравнение» или «решить рекуррентное соотношение».

Сначала будем искать производящую функцию в виде

Домножим левую и правую части рекуррентного соотношения на z в соответствующей степени:

Сложим все уравнения для всех значений n:

Слева в точности получается значение G(z), а справа — некоторое выражение, которое нужно свернуть (любым законным способом). Сначала рассмотрим первую сумму

Первое равенство получается, если изменить индекс суммирования (уменьшить на 1) и вынести 2 за знак суммы. Второе равенство получается путём вынесения z за знак суммы. Третье очевидно. Вторая сумма сворачивается почти аналогично:

Последнее равенство есть хорошо знакомая геометрическая прогрессия.

Окончательно, подставив упрощённые выражения в полученное выше уравнение (*), имеем

Это называется уравнение для производящей функции. Разрешив его относительно G(z), получим

Производящую функцию нужно разложить в ряд по степеням z:

Это означает, что

Проверяя несколько первых значений, убеждаемся в правильности формулы.