7. Теор Признак Вейерштрасса о равномерной сх-ти.

Если существует полож, числовой, сх-ся ряд a_n (4), т.ч. (n)(хЕ) [|u_k(x)|a_n] (мажорирующий ряд, мажоранта), то ряд (1) сх-ся на множестве Е абсолютно и равномерно.

 |u_k(x)|a_n при всех хЕ следует, согл. признаку сравнения сх-ся |u_n(x)| u_n(x) сх-ся абсолютно на множестве Е. Для ряда (4) выполнен крит. Коши: (>0)(n_):(m>n>n_)

8. Степенные ряды. Теорема Абеля.

Функциональные ряды вида , где c_n(n=1,2,…) и a–заданные комплексные числа, -комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа c_n-коэффициентами степенного ряда (1).

Теорема 1 (Абеля) . Если степенной ряд (2) сходится при z= 0, то он сходится, и притом абсолютно, при любом z таком, что |z|<|z₀|; а если этот ряд расходится при z= 0, то он расходится при всяком z, для которого |z|<|z₁|..

9. Ряд Тейлора.

Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a . Формальный ряд называется рядом Тейлора функции в точке a.

10. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Процесс разложения бесконечно дифференцируемой в т.x₀функциивf(x) ряд Тейлора (частный случай, разложение функции в ряд Маклорена приx₀=0) проходит в три этапа:

1) для функцииf(x) записывается ряд Тейлора;

2) определяется интервал сходимости ряда;

3) осуществляется проверка того, что для записанного рядаf(x) есть сумма этого ряда.

11. Криволинейные интегралы первого рода.

Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собой длину дуги кривой.

Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как

Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.

12. Криволинейные интегралы второго рода.

Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции

представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).

В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz, соответственно.

Рис.1

Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции

существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как

13. Приложения криволинейных интегралов.

   Длина кривой 

  Масса кривой 

(  - плотность кривой).

     Координаты центра масс 

     Работа 

     Работа силы   вдоль кривой l:

14. Двойной интеграл.Необходимое и достаточное условие существования двойного интеграла.

Опр: Если существует конечный предел , независящий ни от способа разбиения D на части, ни от выбора Р_i, то этот предел называется двойным интегралом от f(x;y) по области D.

Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:

Разбираемся в терминах и обозначениях: – значок двойного интеграла;  – область интегрирования (плоская фигура);  – подынтегральная функция двух переменных, часто она довольно простая;  – значки дифференциалов.

15.Вычислениие двойного интеграла по области прямоугольника.Пусть область интегрирования R представ собой прямоуг  . Тогда двойн интеграл в такой области выраж-ся через повторн интеграл в след виде:

В данном случае область интегрирования R относ-ся одновременно к типу I и II, так что у нас есть возможность выбирать, по какой переменной (x или y) начин интегрировать ф-цию f (x,y). Обычно удобнее начин с более прост интеграла.  В частном случае, когда подынтегральная функция  f (x,y) "расщепляется" на произведение f (x)g(y), двойной интеграл равен произведению двух определенных интегралов: