48. Точечные оценки. Метод моментов.

ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА - статистическая оценка, значения к-рой суть точки во множестве значений оцениваемой величины.  Пусть по реализации   случайного вектора   принимающего значения в выборочном пространстве   надлежит оценить неизвестный параметр   (или нек-рую функцию   Тогда любая статистика Т _n=Т _п (Х),осуществляющая отображение множества   в   (или в множество значений функции   наз. точечной оценкой параметра   (оцениваемой функции   Важными характеристиками Т. о. Т _п являются ее математич. ожидание

  и дисперсионная матрица (ковариационная матрица)

Вектор   наз. вектором ошибок Т. о. Т _п. Если

  - нулевой вектор при всех   то говорят, что Т _п является несмещенной оценкой функции  или что Т _п лишена систематич. ошибки, в противном случае Т. о. Т _п наз. смещенной, а вектор   - смещением или систематической ошибкой Т. <о. Качество Т. о. определяется с помощью функции риска.

Метод моментов

Вместе с тем, на основе наблюдений   могут быть найдены выборочные начальные моменты  -го порядка

,

которые служат состоятельными оценками моментов распределения  .

         Метод моментов заключается в приравнивании   выборочных моментов к соответствующим моментам распределения и нахождении оценок неизвестных параметров из системы уравнений:

.

Кроме начальных моментов, для оценок параметров могут использоваться центральные моменты распределения и выборочные центральные моменты:

.

         Для некоторых распределений, например, нормального или экспоненциального, оценки параметров, найденные с помощью метода моментов, совпадают с соответствующими ОМП. Вместе с тем имеются многочисленные задачи, в которых метод моментов приводит к худшим по точности оценкам, чем метод максимального правдоподобия. Характерным примером является оценка параметра   равномерного распределения  . Для нахождения этой оценки на основе метода моментов приравняем математическое ожидание (первый начальный момент)   и выборочное среднее  . В результате получаем несмещенную оценку   с дисперсией  . Заметим, что найденное значение в   раз больше дисперсии (2.27) оценки максимального правдоподобия. Приведенный результат подчеркивает целесообразность поиска эффективных оценок с помощью метода максимального правдоподобия. Однако встречаются примеры, где решение уравнений правдоподобия найти не удается, но можно получить хорошие оценки по методу моментов. Рассмотрим два таких примера.

         Пусть требуется оценить параметры   и   гамма-распределения (табл. 1.1). Приравнивая моменты распределения   и   к первому   и второму   выборочным моментам, получаем следующие оценки параметров по методу моментов:

.

         Проанализируем теперь возможности решения более сложной задачи оценки двух параметров   и   распределения Вейбулла (табл. 1.1). Как следует из табл.1.1, после приравнивания моментов распределения    и    к выборочным   и   получается система двух уравнений относительно неизвестных оценок параметров   и  , аналитическое решение которой не представляется возможным.

         Попытаемся подобрать функциональное преобразование выборочных значений  , приводящее к упрощению поставленной задачи оценивания. Заметим, что двухпараметрический класс вейбулловскихСВ Y может быть получен с помощью нелинейного преобразования   СВ   с экспоненциальным законом распределения:  . Такое преобразование упрощается, если рассматривать прологарифмированные данные эксперимента, т.е. ввести СВ   и соответствующие наблюдения   . Но самое главное, что моменты распределения   оказываются довольно простыми функциями неизвестных параметров   и . Действительно,

;

.

Используя таблицы интегралов [25], запишем:

,

,

где   – постоянная Эйлера [25]. С учетом приведенных табличных интегралов получаем следующие выражения для моментов распределения логарифмов наблюдений:  .

         Оценки     теперь могут быть легко найдены из системы двух уравнений  , где    и   – выборочные моменты. После элементарных преобразований решение системы уравнений для оценок параметров распределения Вейбулла запишется в виде:

.

         Полученные оценки могут использоваться, например, при построении классификатора типа помех в радиолокационном приемнике, поскольку распределение Вейбулла описывает широкий класс возможных помех в виде собственного шума приемника, отражений от местных предметов, гидрометеоров и др.