Вопрос 15)Присоединенные полиномы Лежандра

Присоединенные полиномы Л.

d/dx[(1-x²) du/dx] + n(n+1)u – um²/(1-x²) =0 m=0;1;2;…Реш-ем этого ур явл присоед полен Л. ,

кот можно вычислить из :

P^m_n(x)=(1-x²) ^{m / 2} * (d^m/dx^m)P_n(x)

Св-ва subj. аналогичны полиномам Л.

Вопрос 16)Основные ур-ия математической физики. Корректность постановки задач математической физики

Общ реш этих ДУ и постановка краев задач для них.

Многие задачи физики сводятся к -ю ДУ в ч. произв. Эти ур-я возник при моделировании различ непрерыв физич полей. Типич ур мат физ явл ур-ния Пуассона:

1) ∆ U = ²U/x²+ ²U/y²+ ²U/z²=f

∆ = ²/x²+ ²/y²+ ²/z² - оператор Лапласа

f-известна ; U -?, но найдем!!!

2) Ур-ние Лапласа: ∆ U=0 . Ф-ция, удовлетв ур-ю Л. наз. гармонической ф-цией. Ур-я Л. и Пуассона возникают при моделировании стац. полей

3) Ур-е диффузии (теплопровод) ∆U - (1/a)(U/t)=f

a=const - (коэфф.) диффузии . f – известная ф-ция

4) Волновое ур-ние : ∆ U- (1/a²)(²U/t²)=f

a=const - скор распростр волны в пр-ве . f- изв фун-я

1) – 4) – основ ур-ния МФ .

Все ур-ния линейные поэтому в соотв с общей теорией лин ур-ний общ. реш-е представимы в виде : U = U_f + U₀ U₀ - мн-во реш однород ДУ.

U_f – к-либо ч реш неодрод ДУ

Лин независ реш-я однород ДУ – наз. базисные реш

Основ отличие ДУ в частн произв от ОДУ в том, что ДУ в частн произв имеет  мн-во базисных реш-й.

Условие обеспечивающее единственность реш ДУ в ч. п. также отлич-ся от условий для ОДУ. Так для ДУ в ч. п. харак/ми доп усл являются краевые условия, задающие поведение ф-ции на границе области.

Корректность постановки задач в мат физике:

Задача МФ считается поставленной корректно по Адамару, если выполн усл: 1) задача имеет решение

2) решение задачи единственно

3) решение задачи устойчиво, т.е. малым возмущ-ям входных данных соответ малое возмущ реш-я задачи

Понятие корректности введено Адамаром (в связи с исследован доп усл для ур-ния Лапласа, гарантирую-щих единственность решения) . Пример Адамара:

²U/x² + ²U/y² =0 ; U(x,0)=f(x)

(U/y)(x,0)= (x) ; -   x   0  y  

Рассмотрим 2 случая задания нач условий

1) f₁(x)=0 ₁(x)=(1/a)sin ax : можно убедитьтся : U₁(x,y) = (1/a²) sin ax * sh ay

2) f₂(x)=0 ₂(x)= 0 тогда : U₂(x,y) = 0

Вычислим уклонение нач условий и соотв решений

{ max _x| f₁(x) - f₂(x) | = 0

{ max _| ₁(x) - ₂(x) | = 1/a

Уклонение реш-й : max _x,y|U₁(x,y) - U₂(x,y)|=(sh ay)/a²

Из формул видно, что при большом а , уклонение н.у. можно сделать очень маленьким, однако уклонение решения при этом станет очень большим, т.к. sh растет быстрее чем а².