Вопрос 41)Метод конечностных разностей для волнового ур-ия

Р/м применение метода на примере решения начально краевой задачи для одномерного волнового ур-ия

{ ;

{ U(x,0)=ϕ₁(x) : (x,0)=ϕ₂(x) ;

{ U(a,t)=ψ₁(t): U(b,t)=ψ₂(t) ;

начально краевая задача для одномерного волнового ур-ия.Выберем по координатам x и t прямоугольную сетку с шагами (постоянными ) и аппроксимируем производные в ур-ии центральными конечностными разностями,предварительно переписав ур-ие в виде:

;

(*)

+ ; Граничные условия:

; ; Изобразим окрестность (n,k) точки

В численных методах по форме рисунка эту схему называют «крест».

Вычисляем решение.

На нулевом слое по времени решение известно и задается начальными условием:

; n=1,2,…N-1 (**)

На первом слое по времени решение можно вычислить приближением,полжив на первом слое по времени:

U_t(x_n,0) ; n=1,2,…N-1 (***)

На первом слое по времени решение отыскивается по(***).На остальных слоях по времени к=1,2,3.. решение отыскиваетя по (*)

Для вычисления решения по схеме «крест» необходимо:

1)Вычислить решение на нулевом временном слое по формуле (**)

2)Вычислить решение на первом временном слое по формуле (***)

3)Вычислить решение на остальных временных слоях по формуле (*)

Рассмотренная схема является явной и условно устойчивой по отношению к погрешностям вычисления.Условие устойчивости имеет вид условие куранта

Существуют более сложные не явные схемы,являющиеся безусловно устойчивыми

Вопрос 21) Задача Коши для однородного уравнения теплопроводности

Пусть необх решить однородное одномерное урие теплопроводности на бесконечной прямой х. Краевые усл не ставятся и решается задача Коши:

(Рисунок)

Установим вклад тепла, сосредоточенного в заштрихованном столбике в температурном поле в т. x в некоторый момент времени t.

Интегрируя это соотношения по находим реш-е исходной задачи Коши:

- интеграл Пуассона для ур-я теплопроводности.

Для существования этого интеграла нужно положить граничные условия- достаточно, чтобы фия То(х) была ограничена на х.

Вопрос 22) Цилиндрически и сферически симметричное решение уравнения теплопроводности

Рассмотрим 2однонаправленных фундаментальных решения:

При малых значениях t эти ф-ии отличны от нуля только в узких слоях, расположенных вдоль оси y и x соответственно.

(рисунок)

Очевидно, что произведение этих ф-ий , только в тонком цилиндре квадратного сечения:

– и есть цилиндрически симметричное фунд. решение ур-я теплопроводности.

Где r- цилиндрическая координата.

Построим сферически симметричное фунд. решение. Оно строится аналогично предыдущему.

Где r- сферическая координата.