Вопрос 3)переходная ф-ия интеграл Дюамеля

На практике часто удобно выразить частное решение через переходную ф-цию H(t), которая яв-ся реакцией системы на единич ф-цию (Хэвисайда). Установим связь между импульсной реакцией и переходной ф-цией. Для этого в u_f (t)=₀^t F(τ)G(t-τ)dτ(**) вместо F(t-τ) подставим единичную ф-цию. При этом,согласно определению, слева должна стоять переходная ф-ция. H(t)=₀ ^t G(t)dτ, или Hʹ(t)=G(t)

Выразим частное решение через переходную ф-цию. Для этого в (**) вместо G(ξ) подставим Hʹ(ξ) и результат проинтегрируем по частям. u_f(t)=₀^t F(t-ξ)Hʹ(ξ)dξ

=H(ξ)F(t-ξ)|₀^t - ₀^t H(ξ)F_ξʹ(t-ξ)dξ={t-ξ=τ; dξ = -dτ}=

=H(t)F(0) + ₀^t Fʹ(τ)H(t-τ)dτ

итого: u_f(t)=H(t)F(0)+₀^t Fʹ(τ)H(t-τ)dτ (***)

Частное решение ДУ m(d²u/dt²)+r(du/dt)+ku=F (*). Наз-ся интегралом Дюамеля.

Замечания: if на интервале (0,t) ф-ция F(t) имеет M разрыв-ов I рода в точках τ_k, то значения в окр. этих точек разрыва линейными ф-циями можно получить:

U_f(t)= +₀^t Fʹ(τ) H(t-τ)dτ

Здесь ΔF_k – скачёк в-ции в точке τ_k, h(t) – число разрывов до момента t. Замечание 1: Имп. р-ция и переходная ф-ция были определены для ДУ 2го порядка, однако эти определения легко распространяются на ДУ n-го порядка. При этом импульс p будет удовлетворять задаче Коши с нулевыми н.у. до (n-2) производной включительно. А н.у. для (n-1) производной будет: d^n-1/d_n^n-1G(0)=1/m, где m – коэф-т при старшей производной.

Замечание 2: При вычисл част. реш. предпочтительна переходная ф-ция, т.к. она проще м.б. построена экспериментально.

Вопрос 4) Задача Коши, двухточечная задача

Вернёмся к общему решению ДУ m(d²u/dt²)+r(du/dt)+ku=F (*). Оно представимо в виде: u(t)=c₁u₁(t)+c₂u₂(t)+u_f(t).Коэф-ты c₁, c₂ – произвольные.

Ui-общее решение.Uf-частное решение. Для того чтобы из мн-ва решений выбрать нужное, необходимы дополнит условия (вытекающие из постановки задачи). Для ОДУ характерными являются следующие дополнительные условия.:

1) Н.у. – заключающиеся в задании ф-ции и её производной до (n-1) порядка в начальный момент времени. Н.у., вместе с д.у., образуют задачу Коши. Для ДУ 2го порядка она имеет вид: u(0)=f₁; uʹ(0)=f₂, удовлетворяя этим условиям, получим СЛАУ:

{f₁=c₁u₁(0)+c₂u₂(0)

{f₂=c₁uʹ₁(0)+c₂uʹ₂(0)+uʹ_f(0)

Определитель Вронского 0 и СЛАУ разрешима единственным образом.

2) Второй тип дополнительных условий иллюстрирует краевая (двухточечная) задача. Задаются значения искомой ф-ции в двух различных моментах времени: u(t₁)=f₁, u(t₂)=f₂, удовлетворяя этим условиям получим:

{f₁=c₁u₁(t₁)+c₂u₂(t₁)+u_f(t₁)

{f₂=c₁u₁(t₂)+c₂u₂(t₂)+u_f(t₂)

Эта СЛАУ разрешима единственным образом при условии неравенства нулю её определителя. Это значит, что краев задача для ОДУ условно разрешима.