Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
otvety_Vovy_i_moi_nemnozhko.docx
Скачиваний:
9
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
760.59 Кб
Скачать

Вопрос 13) Ур-ие Лежандра, полином Лежандра, их графики

Многие задачи сводятся к интегрир-ю ур. Лежандра

d/dx[(1-x2)dU/dx]+ U=0 (*)-ур. Леж.  - параметр

Вx = +- 1 –ур-е. вырождается. Решен. лежит на [-1;+1].

Найдем  при кот. (*) имеет ограниченое реш. В соответствии с теор. ДУ реш ищем : u(x)=k=0 ak xk Подставим в (*) и выполн. дифф.:

k ak k(k-1) xk-2+k ak [-k(k+1)] xk=0. Из рав-ва следует рав-во нулю коэфф. при одинаков. степенях x. Коэфф при степен x -1, x -2 обращаются в ноль при любых a0 и a1 из за налич в них множителя k(k-1). Приравнивая коэфф при Х в степен 0,1,.., получ:

ak [-k(k+1)]+ak+2(k+1)(k+2)=0.

Следоват-но аk+2= -ak [-k(k+1)] / (k+1)(k+2) (**) . Это соотн позвол выразить все четн коэфф через a0,

а нечетные через a1. Выпиш соответст. решения ур (*)

u0 (x)=a0(1+a/2x2+a/4x4+…) . u1 (x)=a1(x+a/3x3+a/5x5+…)

Заметим что u0(x), u1(x) лин. независ. и приним в качестве базисн реш ур Леж при усл сходим-ти ряда.

Из (**) видно что при =n(n+1) ряды для u0 и u1 обрыва-ются при n=k и u0 и u1 ограничены в т. –1 и +1. При =n(n+1) решен ур Л. явл полиномом степени n : Pn(x). При др значен  , решения ур неогранич в т +-1.

Построим с пом (**) неск первых поленомов Леж.

n=0 | a0 произв ,ak=0

n=1 | a1-произв., ak=0

n=2 | a0-произв., a2= -3a0 , a4 = a6 = 0 {k=0}

n=3 | a1-произв.,a3= -10 a1/6 , a5 = a7 = 0 {k=1}

a0 и a1 выбираются из услов Pn(1)=1 ; a0=1 значит P0(x)=1,

P1(x)=a1x ; a1=1, P1(x)=x;

P2(x)=a0 –3a0x2 ; P2(x)=0.5(3x2-1)

P3(x)=0.5(5x3-3x)

Для вычислен поленомов м-но воспольз фор-ой Родрига :

Pn(x)=1/(2nn!)*

*(dn/dxn)[(x2-1)n]

Вопрос 14)ортогональность полиномов Лежандра

Ортогональность полиномов Лежандра .

Покажем что поленомы Л. с разными номерами ортог-льны на отр [-1;1] . Для этого напишем 2 ур. Л.

d/dx[(1-x2)dPn(x)/dx] + n(n+1)Pn(x)=0 | *Ps(x)

- (d/dx[(1-x2)dPs(x)/dx] + s(s+1)Ps(x)=0) | *Pn(x) проинтегрируем от -1 до+1 получим

[n (n+1) – s (s+1)] -11 Pn(x) Ps(x) dx =

= -11{Ps(x) d/dx [(1-x2) dPn(x)/dx] –

– Pn (x)d/dx[(1-x2)dPs/dx]}dx = инт.по част

= Ps (1-x2) dPn/dx |1-1 -11 (1-x2)(dPn/dx) (dPs/dx) dx –

– Pn (1-x2)dPs/dx |1-1 + ∫1-1(1-x2) dPn/dx dPs/dx dx=0

Для поленомов с разл номерами получили условие ортогональ-ти [ ∫1-1 Pn(x)Ps(x)dx=0 ; n≠s ]

Если n=s то имеем ∫1-1 P2n(x)dx=||Pn||2=2/(2n+1);

Разложение произвольн ф-ии по пол-мам Лежандра.

Любая непрерыв на отр [-1;1] ф-я f(x) может быть рав-номер приближена к лин комбин полин-ов Л. в виде :

f(x)= n=0 CnPn(x) (*) для опред коэф-ов Cn скалярн умн (*) на Ps(x) и воспольз ортогональн поленом

Cn= [ ∫1-1 Pn(x)f(x)dx) ] / || Pn || 2 ;

Если f(x) имеет разрывы 1-го рода на[-1,1] то ее разложение будет сх-ся среднеквадратично.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]