Вопрос 13) Ур-ие Лежандра, полином Лежандра, их графики

Многие задачи сводятся к интегрир-ю ур. Лежандра

d/dx[(1-x²)dU/dx]+ U=0 (*)-ур. Леж.  - параметр

Вx = +- 1 –ур-е. вырождается. Решен. лежит на [-1;+1].

Найдем  при кот. (*) имеет ограниченое реш. В соответствии с теор. ДУ реш ищем : u(x)=^∞_k=0 a_k x^k Подставим в (*) и выполн. дифф.:

_k a_k k(k-1) x^k-2+_k a_k [-k(k+1)] x^k=0. Из рав-ва следует рав-во нулю коэфф. при одинаков. степенях x. Коэфф при степен x ^-1, x ^-2 обращаются в ноль при любых a₀ и a₁ из за налич в них множителя k(k-1). Приравнивая коэфф при Х в степен 0,1,.., получ:

a_k [-k(k+1)]+a_k+2(k+1)(k+2)=0.

Следоват-но а_k+2= -a_k [-k(k+1)] / (k+1)(k+2) (**) . Это соотн позвол выразить все четн коэфф через a₀,

а нечетные через a₁. Выпиш соответст. решения ур (*)

u₀ (x)=a₀(1+a^/₂x²+a^/₄x⁴+…) . u₁ (x)=a₁(x+a^/₃x³+a^/₅x⁵+…)

Заметим что u₀(x), u₁(x) лин. независ. и приним в качестве базисн реш ур Леж при усл сходим-ти ряда.

Из (**) видно что при =n(n+1) ряды для u₀ и u₁ обрыва-ются при n=k и u₀ и u₁ ограничены в т. –1 и +1. При =n(n+1) решен ур Л. явл полиномом степени n : P_n(x). При др значен  , решения ур неогранич в т +-1.

Построим с пом (**) неск первых поленомов Леж.

n=0 | a₀ произв ,a_k=0

n=1 | a₁-произв., a_k=0

n=2 | a₀-произв., a₂= -3a₀ , a₄ = a₆ = 0 {k=0}

n=3 | a₁-произв.,a₃= -10 a₁/6 , a₅ = a₇ = 0 {k=1}

a₀ и a₁ выбираются из услов P_n(1)=1 ; a₀=1 значит P₀(x)=1,

P₁(x)=a₁x ; a₁=1, P₁(x)=x;

P₂(x)=a₀ –3a₀x² ; P₂(x)=0.5(3x²-1)

P₃(x)=0.5(5x³-3x)

Для вычислен поленомов м-но воспольз фор-ой Родрига :

P_n(x)=1/(2ⁿn!)*

*(dⁿ/dxⁿ)[(x²-1)ⁿ]

Вопрос 14)ортогональность полиномов Лежандра

Ортогональность полиномов Лежандра .

Покажем что поленомы Л. с разными номерами ортог-льны на отр [-1;1] . Для этого напишем 2 ур. Л.

d/dx[(1-x²)dP_n(x)/dx] + n(n+1)P_n(x)=0 | *P_s(x)

- (d/dx[(1-x²)dP_s(x)/dx] + s(s+1)P_s(x)=0) | *P_n(x) проинтегрируем от -1 до+1 получим

[n (n+1) – s (s+1)] _-1∫¹ P_n(x) P_s(x) dx =

= _-1∫¹{P_s(x) d/dx [(1-x²) dP_n(x)/dx] –

– P_n (x)d/dx[(1-x²)dP_s/dx]}dx = ^{инт.по част}

= P_s (1-x²) dP_n/dx |¹_-1 – _-1∫ ¹ (1-x²)(dP_n/dx) (dP_s/dx) dx –

– P_n (1-x²)dP_s/dx |¹_-1 + ∫¹_-1(1-x²) dP_n/dx dP_s/dx dx=0

Для поленомов с разл номерами получили условие ортогональ-ти [ ∫¹_-1 P_n(x)P_s(x)dx=0 ; n≠s ]

Если n=s то имеем ∫¹_-1 P²_n(x)dx=||P_n||²=2/(2n+1);

Разложение произвольн ф-ии по пол-мам Лежандра.

Любая непрерыв на отр [-1;1] ф-я f(x) может быть рав-номер приближена к лин комбин полин-ов Л. в виде :

f(x)= _n=0^∞ C_nP_n(x) (*) для опред коэф-ов C_n скалярн умн (*) на P_s(x) и воспольз ортогональн поленом

C_n= [ ∫¹_-1 P_n(x)f(x)dx) ] / || P_n || ² ;

Если f(x) имеет разрывы 1-го рода на[-1,1] то ее разложение будет сх-ся среднеквадратично.