
- •Вопрос 1)Обыкновенные ду с постоянным коэфиц.
- •Вопрос 2)Построение частного решения методом импульсной реакции
- •Вопрос 3)переходная ф-ия интеграл Дюамеля
- •Вопрос 4) Задача Коши, двухточечная задача
- •Вопрос 5)Метод комплексных амплитуд
- •Вопрос 6)Частное решение при периодической правой части
- •Вопрос 7)Преобразование Лапласа и его применение для построения частного решения
- •Вопрос 8)Преобразование Фурье и его применение для построения частного решения.
- •Вопрос 9)Уравнение Эйлера, его базисные решения
- •Вопрос 10) Уравнение Бесселя, его базисные решения
- •Вопрос 11)Графики ф-ии бесселя,модифицированное уравнение Бесселя,графики модифицированных ф-ий Бесселя
- •Вопрос 12)Ортогональность ф-ии Бесселя,ряд Фурье Бесселя
- •Вопрос 13) Ур-ие Лежандра, полином Лежандра, их графики
- •Вопрос 14)ортогональность полиномов Лежандра
- •Вопрос 15)Присоединенные полиномы Лежандра
- •Вопрос 16)Основные ур-ия математической физики. Корректность постановки задач математической физики
- •Вопрос 17) Безвихревое стационарное обтекание тел жидкостью, газом.
- •Вопрос 18)Ур-ие теплопроводности, постановка задачи для него.
- •Вопрос 19)Ур-ие малых колебаний струны, начальные и краевые условия
- •Вопрос 20)Электростатическое поле между заряженными проводящими телами
- •Вопрос 21)Ур-ие Максвела, телеграфные ур-ия для векторов поля.
- •Вопрос 22)Ур-ие Лапласа, основные св-ва гармонических ф-ии
- •Вопрос 23)Краевые задачи для ур-ия Лапласа
- •Вопрос 24)Конечно разностная аппроксимация ур-ия Лапласса
- •Вопрос 25)Фундаментальное решение ур-ия Лапласса
- •Вопрос 26)Основное тождество гармонических ф-ий
- •Вопрос 27) Электростатическая интерпретация основного тождества
- •Вопрос 29)Единственность решения внешней задачи Дирихле и Неймана
- •Вопрос 28)Единственность решения внутренних задач Дирихле и Неймана
- •Вопрос 30) Метод Фурье общая схема
- •Вопрос 31)Разделение переменных в полярных координатах
- •Вопрос 32)Решение задач Дирихле и Неймана для круга
- •Вопрос 33)Электростатическое поле внутри и вне диэлектрического цилиндра помещенного во внешнее поле е0
- •Вопрос 34)Разделение переменных в декартовых координатах.
- •Вопрос 35) Решение задачиДирихле для прямоугольника
- •Вопрос 36)Разделение переменных в цилиндрических координатах
- •Вопрос 37)Стационарное температурное поле внутри цилиндра
- •Вопрос 38) Метод ф-ии Грина.Ф-ия Грина,задачи дирихле
- •Вопрос 39)Приближенное построение ф-ии Грина
- •Вопрос 40)ф-ия Грина задачи Неймана,её св-ва
- •Вопрос 41)Решение задачи Дирихле для полупространства.
- •Вопрос 42)Решение задачи Дирихле для круга
- •Вопрос 43) Плоские гармонические векторные поля и методы их исследования.
- •Вопрос 44) Метод комфортных отображений. Интеграл Пуассона для полуплоскости.
- •Вопрос 47)Ур-ие Лапласса и вариационный принцип Дирихле
- •Вопрос 48) Метод Ритца
- •Вопрос 49)Методы взвешенных невязок,метод коллокации
- •Вопрос 50)Метод наименьших квадратов
- •Вопрос 51)Метод Галёркина
- •Вопрос 52)Граничные интегральные ур-ия.Решение задачи Дирихле Методом гиу
- •Вопрос 53)Решение задачи Неймана методом гиу
- •Вопрос 54)Теорема Фредгольма
- •Вопрос 1)Потенциалы простого и двойного слоев. Теорема о потенциале простого слоя
- •Вопрос 2)Теорема о потенциале двойного слоя
- •Вопрос 3)Применение потенциалов для решения краевых задач для ур-ия Лапласа. Задача Робэна
- •Вопрос 5)Решение задачи Неймана методом иу
- •Вопрос 6)Решение задачи Дирихле методом иу
- •Вопрос 7) Решение ур-ия Пуассона,теорема об объемном потенциале
- •Вопрос 8)Ур-ие диффузии,постановка начально-краевых задач для него
- •Вопрос 9) Теорема единствености реш-я начальн краев. Задач для ур-я диффузии
- •Вопрос 10) Метод конечных разностей для ур-я диффузии
- •Вопрос 11) Метод установления для ур-я Лапласа. Эволюц. Метод
- •Вопрос 12) Метод разделения переем. (Фурье) для ур-я диффузии.
- •Вопрос 13) Примен. Преобр-я Лапласа для реш. Ур-я дифф
- •Вопрос 14) Прогревание полупространства. Задача Релея.
- •Вопрос 15) Интеграл Дюамеля.
- •Вопрос 20) Фундамент р-ние ур-ния тепло-сти в своб. Пр-ве
- •Вопрос31 ) Решение неоднородного волнового ур-ния. Запаздывающий интеграл.
- •Вопрос 29)Волны в полуограниченной струне.
- •Вопрос 17) Расчет критических размеров при цепных реакциях
- •Вопрос 46) Решение задачи Дирихле для полосы
- •Вопрос 45)Решение задачи Дирихле для круга.
- •Вопрос 16)Температурные волны.
- •Вопрос 18)Интегродифференциальные ур-ния начальных краевых задач для ур-ия диффузии.
- •Вопрос 19) Скин эффект в проводнике произвольного сечения.
- •Вопрос 20)Фундамент р-ние ур-ния тепло-сти в своб. Пр-ве.
- •Вопрос 35)свободны колебания прямоугольной мембраны
- •Вопрос 36)Рассчитать свободные колебания круглой мембраны радиуса b, обусловленной не нулевым начальным отклонением и начальной скоростью. Повторить все в полярных координатах
- •Вопрос 37)Сведения начально-краевой задачи для волнового ур-ия к интегро-диференц. Ур-ию
- •Вопрос 40) Электро магнитные колебания в объемном резонаторе
- •Вопрос 41)Метод конечностных разностей для волнового ур-ия
- •Вопрос 21) Задача Коши для однородного уравнения теплопроводности
- •Вопрос 22) Цилиндрически и сферически симметричное решение уравнения теплопроводности
- •Вопрос 23) Волновое уравнение
- •Вопрос 24)Интеграл энергии и теорема единственности решения начально краевых задач для струны
- •Вопрос 30)Сферические волны.
- •Вопрос 33) Колебания в ограниченных объемах.
- •Вопрос 25) Эл. Колебания в длин линии.
- •Вопрос 26) эм колеб-ия в объемном резонаторе.
- •Вопрос 32) Запаздывающие потенциалы а эл/дин
Вопрос 13) Ур-ие Лежандра, полином Лежандра, их графики
Многие задачи сводятся к интегрир-ю ур. Лежандра
d/dx[(1-x2)dU/dx]+ U=0 (*)-ур. Леж. - параметр
Вx = +- 1 –ур-е. вырождается. Решен. лежит на [-1;+1].
Найдем при кот. (*) имеет ограниченое реш. В соответствии с теор. ДУ реш ищем : u(x)=∞k=0 ak xk Подставим в (*) и выполн. дифф.:
k ak k(k-1) xk-2+k ak [-k(k+1)] xk=0. Из рав-ва следует рав-во нулю коэфф. при одинаков. степенях x. Коэфф при степен x -1, x -2 обращаются в ноль при любых a0 и a1 из за налич в них множителя k(k-1). Приравнивая коэфф при Х в степен 0,1,.., получ:
ak [-k(k+1)]+ak+2(k+1)(k+2)=0.
Следоват-но аk+2= -ak [-k(k+1)] / (k+1)(k+2) (**) . Это соотн позвол выразить все четн коэфф через a0,
а нечетные через a1. Выпиш соответст. решения ур (*)
u0 (x)=a0(1+a/2x2+a/4x4+…) . u1 (x)=a1(x+a/3x3+a/5x5+…)
Заметим что u0(x), u1(x) лин. независ. и приним в качестве базисн реш ур Леж при усл сходим-ти ряда.
Из (**) видно что при =n(n+1) ряды для u0 и u1 обрыва-ются при n=k и u0 и u1 ограничены в т. –1 и +1. При =n(n+1) решен ур Л. явл полиномом степени n : Pn(x). При др значен , решения ур неогранич в т +-1.
Построим с пом (**) неск первых поленомов Леж.
n=0 | a0 произв ,ak=0
n=1 | a1-произв., ak=0
n=2 | a0-произв., a2= -3a0 , a4 = a6 = 0 {k=0}
n=3 | a1-произв.,a3= -10 a1/6 , a5 = a7 = 0 {k=1}
a0 и a1 выбираются из услов Pn(1)=1 ; a0=1 значит P0(x)=1,
P1(x)=a1x ; a1=1, P1(x)=x;
P2(x)=a0 –3a0x2 ; P2(x)=0.5(3x2-1)
P3(x)=0.5(5x3-3x)
Для вычислен поленомов м-но воспольз фор-ой Родрига :
Pn(x)=1/(2nn!)*
*(dn/dxn)[(x2-1)n]
Вопрос 14)ортогональность полиномов Лежандра
Ортогональность полиномов Лежандра .
Покажем что поленомы Л. с разными номерами ортог-льны на отр [-1;1] . Для этого напишем 2 ур. Л.
d/dx[(1-x2)dPn(x)/dx] + n(n+1)Pn(x)=0 | *Ps(x)
- (d/dx[(1-x2)dPs(x)/dx] + s(s+1)Ps(x)=0) | *Pn(x) проинтегрируем от -1 до+1 получим
[n (n+1) – s (s+1)] -1∫1 Pn(x) Ps(x) dx =
= -1∫1{Ps(x) d/dx [(1-x2) dPn(x)/dx] –
– Pn (x)d/dx[(1-x2)dPs/dx]}dx = инт.по част
= Ps (1-x2) dPn/dx |1-1 – -1∫ 1 (1-x2)(dPn/dx) (dPs/dx) dx –
– Pn (1-x2)dPs/dx |1-1 + ∫1-1(1-x2) dPn/dx dPs/dx dx=0
Для поленомов с разл номерами получили условие ортогональ-ти [ ∫1-1 Pn(x)Ps(x)dx=0 ; n≠s ]
Если n=s то имеем ∫1-1 P2n(x)dx=||Pn||2=2/(2n+1);
Разложение произвольн ф-ии по пол-мам Лежандра.
Любая непрерыв на отр [-1;1] ф-я f(x) может быть рав-номер приближена к лин комбин полин-ов Л. в виде :
f(x)= n=0∞ CnPn(x) (*) для опред коэф-ов Cn скалярн умн (*) на Ps(x) и воспольз ортогональн поленом
Cn= [ ∫1-1 Pn(x)f(x)dx) ] / || Pn || 2 ;
Если f(x) имеет разрывы 1-го рода на[-1,1] то ее разложение будет сх-ся среднеквадратично.