
- •Вопрос 1)Обыкновенные ду с постоянным коэфиц.
- •Вопрос 2)Построение частного решения методом импульсной реакции
- •Вопрос 3)переходная ф-ия интеграл Дюамеля
- •Вопрос 4) Задача Коши, двухточечная задача
- •Вопрос 5)Метод комплексных амплитуд
- •Вопрос 6)Частное решение при периодической правой части
- •Вопрос 7)Преобразование Лапласа и его применение для построения частного решения
- •Вопрос 8)Преобразование Фурье и его применение для построения частного решения.
- •Вопрос 9)Уравнение Эйлера, его базисные решения
- •Вопрос 10) Уравнение Бесселя, его базисные решения
- •Вопрос 11)Графики ф-ии бесселя,модифицированное уравнение Бесселя,графики модифицированных ф-ий Бесселя
- •Вопрос 12)Ортогональность ф-ии Бесселя,ряд Фурье Бесселя
- •Вопрос 13) Ур-ие Лежандра, полином Лежандра, их графики
- •Вопрос 14)ортогональность полиномов Лежандра
- •Вопрос 15)Присоединенные полиномы Лежандра
- •Вопрос 16)Основные ур-ия математической физики. Корректность постановки задач математической физики
- •Вопрос 17) Безвихревое стационарное обтекание тел жидкостью, газом.
- •Вопрос 18)Ур-ие теплопроводности, постановка задачи для него.
- •Вопрос 19)Ур-ие малых колебаний струны, начальные и краевые условия
- •Вопрос 20)Электростатическое поле между заряженными проводящими телами
- •Вопрос 21)Ур-ие Максвела, телеграфные ур-ия для векторов поля.
- •Вопрос 22)Ур-ие Лапласа, основные св-ва гармонических ф-ии
- •Вопрос 23)Краевые задачи для ур-ия Лапласа
- •Вопрос 24)Конечно разностная аппроксимация ур-ия Лапласса
- •Вопрос 25)Фундаментальное решение ур-ия Лапласса
- •Вопрос 26)Основное тождество гармонических ф-ий
- •Вопрос 27) Электростатическая интерпретация основного тождества
- •Вопрос 29)Единственность решения внешней задачи Дирихле и Неймана
- •Вопрос 28)Единственность решения внутренних задач Дирихле и Неймана
- •Вопрос 30) Метод Фурье общая схема
- •Вопрос 31)Разделение переменных в полярных координатах
- •Вопрос 32)Решение задач Дирихле и Неймана для круга
- •Вопрос 33)Электростатическое поле внутри и вне диэлектрического цилиндра помещенного во внешнее поле е0
- •Вопрос 34)Разделение переменных в декартовых координатах.
- •Вопрос 35) Решение задачиДирихле для прямоугольника
- •Вопрос 36)Разделение переменных в цилиндрических координатах
- •Вопрос 37)Стационарное температурное поле внутри цилиндра
- •Вопрос 38) Метод ф-ии Грина.Ф-ия Грина,задачи дирихле
- •Вопрос 39)Приближенное построение ф-ии Грина
- •Вопрос 40)ф-ия Грина задачи Неймана,её св-ва
- •Вопрос 41)Решение задачи Дирихле для полупространства.
- •Вопрос 42)Решение задачи Дирихле для круга
- •Вопрос 43) Плоские гармонические векторные поля и методы их исследования.
- •Вопрос 44) Метод комфортных отображений. Интеграл Пуассона для полуплоскости.
- •Вопрос 47)Ур-ие Лапласса и вариационный принцип Дирихле
- •Вопрос 48) Метод Ритца
- •Вопрос 49)Методы взвешенных невязок,метод коллокации
- •Вопрос 50)Метод наименьших квадратов
- •Вопрос 51)Метод Галёркина
- •Вопрос 52)Граничные интегральные ур-ия.Решение задачи Дирихле Методом гиу
- •Вопрос 53)Решение задачи Неймана методом гиу
- •Вопрос 54)Теорема Фредгольма
- •Вопрос 1)Потенциалы простого и двойного слоев. Теорема о потенциале простого слоя
- •Вопрос 2)Теорема о потенциале двойного слоя
- •Вопрос 3)Применение потенциалов для решения краевых задач для ур-ия Лапласа. Задача Робэна
- •Вопрос 5)Решение задачи Неймана методом иу
- •Вопрос 6)Решение задачи Дирихле методом иу
- •Вопрос 7) Решение ур-ия Пуассона,теорема об объемном потенциале
- •Вопрос 8)Ур-ие диффузии,постановка начально-краевых задач для него
- •Вопрос 9) Теорема единствености реш-я начальн краев. Задач для ур-я диффузии
- •Вопрос 10) Метод конечных разностей для ур-я диффузии
- •Вопрос 11) Метод установления для ур-я Лапласа. Эволюц. Метод
- •Вопрос 12) Метод разделения переем. (Фурье) для ур-я диффузии.
- •Вопрос 13) Примен. Преобр-я Лапласа для реш. Ур-я дифф
- •Вопрос 14) Прогревание полупространства. Задача Релея.
- •Вопрос 15) Интеграл Дюамеля.
- •Вопрос 20) Фундамент р-ние ур-ния тепло-сти в своб. Пр-ве
- •Вопрос31 ) Решение неоднородного волнового ур-ния. Запаздывающий интеграл.
- •Вопрос 29)Волны в полуограниченной струне.
- •Вопрос 17) Расчет критических размеров при цепных реакциях
- •Вопрос 46) Решение задачи Дирихле для полосы
- •Вопрос 45)Решение задачи Дирихле для круга.
- •Вопрос 16)Температурные волны.
- •Вопрос 18)Интегродифференциальные ур-ния начальных краевых задач для ур-ия диффузии.
- •Вопрос 19) Скин эффект в проводнике произвольного сечения.
- •Вопрос 20)Фундамент р-ние ур-ния тепло-сти в своб. Пр-ве.
- •Вопрос 35)свободны колебания прямоугольной мембраны
- •Вопрос 36)Рассчитать свободные колебания круглой мембраны радиуса b, обусловленной не нулевым начальным отклонением и начальной скоростью. Повторить все в полярных координатах
- •Вопрос 37)Сведения начально-краевой задачи для волнового ур-ия к интегро-диференц. Ур-ию
- •Вопрос 40) Электро магнитные колебания в объемном резонаторе
- •Вопрос 41)Метод конечностных разностей для волнового ур-ия
- •Вопрос 21) Задача Коши для однородного уравнения теплопроводности
- •Вопрос 22) Цилиндрически и сферически симметричное решение уравнения теплопроводности
- •Вопрос 23) Волновое уравнение
- •Вопрос 24)Интеграл энергии и теорема единственности решения начально краевых задач для струны
- •Вопрос 30)Сферические волны.
- •Вопрос 33) Колебания в ограниченных объемах.
- •Вопрос 25) Эл. Колебания в длин линии.
- •Вопрос 26) эм колеб-ия в объемном резонаторе.
- •Вопрос 32) Запаздывающие потенциалы а эл/дин
Вопрос 8)Преобразование Фурье и его применение для построения частного решения.
Р/м ДУ (*): m(d2u/dt2)+r(du/dt)+ku=f
правая часть определена на всей числовой прямой и не явл периодической ф-цией. Частное Реш. м.б. построено методом импульсной реакции. Однако во многих случаях удобнее воспользоваться интегральным преобразованием Фурье. Известно, что абсолютно интегрируемая на -й прямой ф-ция, т.е. -|f(t)|dt<, представима в виде -лаФурье:
{ f(t)=(1/2π) - (ω)e jωt dω обратное Преобразов Фурье
{ (ω)=-f(t)e – jωt dt (**) прямое Преобразов Фурье.
Прямое преобразование Фурье ставит в соответствие каждой абсолютно -мой ф-ции её преобраз-е Фурье или спектральную ф-цию F(ω). Обратное
преобразование Фурье каждой спектральной ф-ции ставит в соответствие абсолютно интегрируемую ф-ию f(t). Мн-во абсолютно интегрируемых ф-ий образует мн-во оригиналов для преобразов фурье, мно-во спектральных ф-ций образует мно-во преобразов фурье или спектр. Прям.преобраз.фурье и обрат.преобраз.фурье устанавливают взаимное соответствие между этими мн-вами: f(t) (ω). Заметим, что абсолютная -мость
ф-ции f(t) яв-ся достаточным усл-ем прям.преобраз.фурьеи и обрат.преобраз.фурье.Св-ва. 1) преобраз.фурье – линейно
αf(t)+βg(t)α
(ω)+β
(ω)
2) Теорема подобия. f (αt) (1/α) (ω/α)
3) Теорема о сдвиге. f(t-τ)e-jωτ F(ω)
4) df/dt -jω (ω); dnf/dtn(-jω)n (ω)
5) f(t)dt (ω)/(jω)
6) f(t) ej ωo t (ω-ω0)
7) Теорема о свёртке. f*g=-f(τ)g(t-τ)dτ :
f*g (ω) (ω)
8) (ω)* (ω)fg
9) Теорема Парсеваля -f2(t)dt=(1/(2π))-| (ω)|2dω
10) Если f(t) определена на [0;), то на отрицательной стороне оси её можно продолжить либо чётным, либо нечётным образом. В зависимости от этого получают:
а){ Fc (ω)=20 f(t)cos(ωt)dt (для чёт)cos-преобразфурье
{ f (t)=(1/π) 0 c (ω)cos(ωt)dw
б){ Fs (ω)=2 0 f(t)sin(ωt)dt(длянечёт)sinпреобразфурье
{f(t)=(1/π) 0 s (ω)sin(ωt)dw
Решим ДУ (*) Применяя к ур-ю (*)преобр фурье и исп-я его св-ва, получим ур-е спектра для спектр ф-ции:
m(-jω)2Ů(ω)-rjŮ(ω)+ku(ω)= (ω)
Ů(ω)=F(ω) / (m(-jω)2-rjω+k) = (ω)/ (ω);
K-1=
(ω)
– частотная хар-ка системы.
(ω)=
(ω)
(ω)
используя Обрат.Преобраз.Фурье для возвращения на мн-во оригиналов:
Uf (t) =(1/(2π))- F(ω)G(ω)e-jωtdω (***)
Заметим, что интегр-ем в компл пл-ти спец методы. Установим связь между частот хар-кой и её имп р-цией g(t).Для этого выразим частное решение через имп р-цию: uf(t)=-t f(τ)G(t-τ)dτ представим в ней f(t)
uf(t)=-t G(t-τ) [(1/(2π))- (ω)e-jωtdω]dτ = {t-τ = ξ ;
dτ=-dξ}=-t G(ξ)[(1/(2π))-F(ω)ejωξ e-jωt dω]dξ =
= (1/(2π))- (ω)e-jωt( 0t G(ξ)ejωξ)dω=
= (1/(2π))- (ω) (ω)e-jωtdω . Сравнивая с (***), можно заключить, что частот. хар-ка линейной системы – есть преобраз фурье её импульсной реакции.преобраз фурье широко исп-ся в РФ при изуче-нии прохождения сигнала через различные линейные системы. Как правило связь входа и выхода сигнала имеет вид: G(t)-временая
y(t)=-tx(τ)G(t-τ)dτ.
G(t)-временая
х/ка. На мн-ве спектрал ф-ций:
(ω)=
(ω)
(ω).
Записывая комплексные ф-ции в показательной
форме, легко получить соотношение:
{|Y|=|X||G|
{argY(ω)=argX(ω)+argG(ω)
| (ω)| - АЧХ; φ(ω)=argG(ω) – ФЧХ.
АЧХ и ФЧХ м.б. построены эксперимент. Из формул следует : |G|=|Y| / |X|; φ(ω)=argY(ω) - argX(ω)
Из записанных формул следует, что для эксперимент. определения G(ω) необходимо: 1) на вход подать sin фиксир. частоты 2) через нек-рое время, необходимое для заверше-ния переходного процесса, измерить амплитуду выходного сигнала и фазовый сдвиг между входом и выходом. вычислить АЧХ и ФЧХ.
3) п.1 и п.2 повторить для всех необходимых частот
Вычисление интеграла от быстро осциллирующих
ф-ций.
Метод Филона. При вычислении прямым образом ПФ возникает необходимость интегрирования быстро осциллир ф-ций: F(ω)=-f(t)ejωtdtk=1Nf(tk)ej ω tk tk. Особенно при таком способе из-за наличия экспоненты с большим значением, результат получить невозможно, поскольку приходится брать огромное кол-во разбиений. Для сокращения времени вычисления таких -ов, -л Фурье представляется в виде: -f(t)ejωtdt=k=1N tk-1tk f(t)ejωtdt. При этом на [tk-1; tk] ф-ция f(t) апроксимируется полиномом к-либо степени, при этом получаем квадратурную формулу Филона. Прстейшая получается при линейной апроксимации: f(t)=at+b {tk-1=at k-1+b
{ tk=at k+b
Подставив это под знак интеграла и вычислив его аналитически получим простейшую формулуФилона.