Вопрос 8)Преобразование Фурье и его применение для построения частного решения.

Р/м ДУ (*): m(d²u/dt²)+r(du/dt)+ku=f

правая часть определена на всей числовой прямой и не явл периодической ф-цией. Частное Реш. м.б. построено методом импульсной реакции. Однако во многих случаях удобнее воспользоваться интегральным преобразованием Фурье. Известно, что  абсолютно интегрируемая на -й прямой ф-ция, т.е. _-^|f(t)|dt<, представима в виде -лаФурье:

{ f(t)=(1/2π) _-^ (ω)e ^jωt dω обратное Преобразов Фурье

{ (ω)=_-^f(t)e ^{– jωt} dt (**) прямое Преобразов Фурье.

Прямое преобразование Фурье ставит в соответствие каждой абсолютно -мой ф-ции её преобраз-е Фурье или спектральную ф-цию F(ω). Обратное

преобразование Фурье каждой спектральной ф-ции ставит в соответствие абсолютно интегрируемую ф-ию f(t). Мн-во абсолютно интегрируемых ф-ий образует мн-во оригиналов для преобразов фурье, мно-во спектральных ф-ций образует мно-во преобразов фурье или спектр. Прям.преобраз.фурье и обрат.преобраз.фурье устанавливают взаимное соответствие между этими мн-вами: f(t) (ω). Заметим, что абсолютная -мость

ф-ции f(t) яв-ся достаточным усл-ем  прям.преобраз.фурьеи и обрат.преобраз.фурье.Св-ва. 1) преобраз.фурье – линейно

αf(t)+βg(t)α (ω)+β (ω)

2) Теорема подобия. f (αt)  (1/α) (ω/α)

3) Теорема о сдвиге. f(t-τ)e^-jωτ F(ω)

4) df/dt  -jω (ω); dⁿf/dtⁿ(-jω)ⁿ (ω)

5)  f(t)dt  (ω)/(jω)

6) f(t) e^{j ωo t} (ω-ω₀)

7) Теорема о свёртке. f*g=_-^f(τ)g(t-τ)dτ :

f*g (ω) (ω)

8) (ω)* (ω)fg

9) Теорема Парсеваля _-^f²(t)dt=(1/(2π))_-^| (ω)|²dω

10) Если f(t) определена на [0;), то на отрицательной стороне оси её можно продолжить либо чётным, либо нечётным образом. В зависимости от этого получают:

а){ F_c (ω)=2₀^ f(t)cos(ωt)dt (для чёт)cos-преобразфурье

{ f (t)=(1/π) ₀^ _c (ω)cos(ωt)dw

б){ F_s (ω)=2 ₀^ f(t)sin(ωt)dt(длянечёт)sinпреобразфурье

{f(t)=(1/π) ₀^ _s (ω)sin(ωt)dw

Решим ДУ (*) Применяя к ур-ю (*)преобр фурье и исп-я его св-ва, получим ур-е спектра для спектр ф-ции:

m(-jω)²Ů(ω)-rjŮ(ω)+ku(ω)= (ω)

Ů(ω)=F(ω) / (m(-jω)²-rjω+k) = (ω)/ (ω);

K^-1= (ω) – частотная хар-ка системы. (ω)= (ω) (ω)

используя Обрат.Преобраз.Фурье для возвращения на мн-во оригиналов:

U_f (t) =(1/(2π))_-^ F(ω)G(ω)e^-jωtdω (***)

Заметим, что интегр-ем в компл пл-ти  спец методы. Установим связь между частот хар-кой и её имп р-цией g(t).Для этого выразим частное решение через имп р-цию: u_f(t)=_-^t f(τ)G(t-τ)dτ представим в ней f(t)

u_f(t)=_-^t G(t-τ) [(1/(2π))_-^ (ω)e^-jωtdω]dτ = {t-τ = ξ ;

dτ=-dξ}=_-^t G(ξ)[(1/(2π))_-^F(ω)e^jωξ e^-jωt dω]dξ =

= (1/(2π))_-^ (ω)e^-jωt( ₀^t G(ξ)e^jωξ)dω=

= (1/(2π))_-^ (ω) (ω)e^-jωtdω . Сравнивая с (***), можно заключить, что частот. хар-ка линейной системы – есть преобраз фурье её импульсной реакции.преобраз фурье широко исп-ся в РФ при изуче-нии прохождения сигнала через различные линейные системы. Как правило связь входа и выхода сигнала имеет вид: G(t)-временая

y(t)=_-^tx(τ)G(t-τ)dτ. G(t)-временая х/ка. На мн-ве спектрал ф-ций: (ω)= (ω) (ω). Записывая комплексные ф-ции в показательной форме, легко получить соотношение:

{|Y|=|X||G|

{argY(ω)=argX(ω)+argG(ω)

| (ω)| - АЧХ; φ(ω)=argG(ω) – ФЧХ.

АЧХ и ФЧХ м.б. построены эксперимент. Из формул следует : |G|=|Y| / |X|; φ(ω)=argY(ω) - argX(ω)

Из записанных формул следует, что для эксперимент. определения G(ω) необходимо: 1) на вход подать sin фиксир. частоты 2) через нек-рое время, необходимое для заверше-ния переходного процесса, измерить амплитуду выходного сигнала и фазовый сдвиг между входом и выходом. вычислить АЧХ и ФЧХ.

3) п.1 и п.2 повторить для всех необходимых частот

Вычисление интеграла от быстро осциллирующих

ф-ций.

Метод Филона. При вычислении прямым образом ПФ возникает необходимость интегрирования быстро осциллир ф-ций: F(ω)=_-^f(t)e^jωtdt_k=1^Nf(t_k)e^{j ω tk} t_k. Особенно при таком способе из-за наличия экспоненты с большим значением, результат получить невозможно, поскольку приходится брать огромное кол-во разбиений. Для сокращения времени вычисления таких -ов, -л Фурье представляется в виде: _-^f(t)e^jωtdt=_k=1^N _tk-1^tk f(t)e^jωtdt. При этом на [t_k-1; t_k] ф-ция f(t) апроксимируется полиномом к-либо степени, при этом получаем квадратурную формулу Филона. Прстейшая получается при линейной апроксимации: f(t)=at+b {t_k-1=at _k-1+b

{ t_k=at _k+b

Подставив это под знак интеграла и вычислив его аналитически получим простейшую формулуФилона.