Вопрос 30)Сферические волны.

Построение однородного волнового ур-ния зависящего только от расстояния до некоторой фиксированной точки О (сферич симметричное решение). Для этого запишем волновое ур-ние в сферич координ.:

Решение этого ур-ния представл в виде:

1-ое слагаемое описывает падающую сферич волну. Она распростр от нач корд до  с затух и искажением форм.

2-ое слаг описывает отраженную сферич волну движ к точке r = 0.

Вид 1 и 2 опред дополнит условиями. В задаче Коши таковыми являются нач условия

.

Вопрос 33) Колебания в ограниченных объемах.

В этом случае существенное влияние на решение оказывают краевые условия. Р/см такие колебания на примере колебания огранич струны:

Пусть один конец струны закреплён жестко, 2-ой скользит без трения. Пусть колебания вызваны не нулевым нач отклонением и нулевым нач импульсом.

Колебания струны будут описываться ур-ниям и доп условиями:

Решим эту задачу методом Фурье.

Частное решение будем искать в виде:

_k(x,t)=X(x)T(t)

Подставляем в ур-ние и разделяя переменные приходим к ОДУ.

Удовлетворяя краев условиям находим:

При этом для и общее частное решение записано в виде:

Общее решение строится наложением:

Удовлетворяя нач условиям находим коэф А_к и В_к. Очевидно что нач скорости = 0 при Ак = 0. Удовл нач услов при t = 0:

Решение имеет вид:

Каждое слагаемое этого ряда опис стоячие волны в струне. Форма волны в фиксированные моменты времени опред ф-цией sin_kx. Точки в кот эта ф-ция обращ в 0 наз узлами стоячей волны. Точки max наз кучностями стоячей волны. Итак, колебания струны есть наложение  мн-ва стоячих волн

Вопрос 25) Эл. Колебания в длин линии.

Рис. If длина линии много больше длины волоны ЭМ колеб-ий, то ток и напр м/у проводами этой линии , будут фиями координаты х и времени t. Вдоль оси фия U(x,t) и I(x,t) удовлетв след телеграфным уриям Максвелла: –урия длинной линии, где R,G,L,C-удельное сопротивление, проводимость, индуктивность, емкость линии. В силу быстропротекающих проц-сов, первыми слагаемыми справа(диссипативные) можно пренебречь, по ср с остальными-получим урие длинной линии без потерь:

Эти урия легко разрешить относит U или i:

Где: LC= , a= -скорость распространения волны в длинной линии. Эти урия имеют ∞-множво решений, поэтому к ним нужно добавить краевые и начальные услия. В начале линии задают ток(ист тока) или напряжение (ист напр). Условия на конце линии опред-ся характером нагрузки. If на конце линии- активное сопротивл, то задается связь: . If на конце линии задано индуктивное напряжение, то задается связь: .If на конце линии емкостная нагрузка, то задается свзяь: . If на конце линии нагрузка содержит R,C,L и режим линии синусоидальный, то на онце задается закон Ома в комплексной форме: