Вопрос 23) Волновое уравнение

Общий вид:

a – скорость распространения волны, f – источник колебания (внешняя вынуждающая сила)

Известно, что общее решение представимо в виде:

где – решение однородного уравнения, а – какое либо частное решение.

В качестве частного решения можно использовать запаздывающий объемный потенциал:

– шар с центром в M и радиусом at

Если f – финитна (т.е. определена в конечной области пр-ва), то через некот время t_max , инт будет явл носителем этой ф-ции. Запаздывающий инт явл аналогом объёмного потенциала для уравнения Пуассона.

Для ВУ также как для ур-я Лапласа вводятся запаздывающие потенциалы двойного и простого слоя, св-ва которых аналогичны св-ам потенциала для ур-я Лапласа.

Вопрос 24)Интеграл энергии и теорема единственности решения начально краевых задач для струны

Интеграл энергии и теорема единственности.

На примере колебаний струны докажем единственность решения всех поставленных выше нач- краевых задач.

Р/см интеграл энергии для струны:

где p – натяжение, а  - плотность.Если краев условие на концах струны однородно, то

dЭ/dt = 0.

Продифференцируем (*) под знаком интеграла:

интегрируя, это соотношение вдоль струны и учитывая однородность нач условий, получим:

Предположим что существует 2 решения для нач краев задачи, тогда разность этих решений удовлетворяет:

из последнего следует, что интеграл (*) = 0. Т.к. краев условия однородны, то Э(t) = 0 в последующие моменты времени. Из (*) следует, что:

Из нач условий следует, что эта const = 0, т.е. ₁ = ₂

Краевые и начальные условия.

Ур-ие колеб-й струны имеет беск. много решений. Конкрет решение выделяется заданием доп. условий, для этого ур-ия являющимися краевыми и начальными. Р/см краевые условия для струны:

1) Края струны жестко закреплены:

U(0,t)=U(l,t)=0; краевые условия 1-го рода.

2)Края струны движутся по определенным законам:

U(0,t)=1(t); U(l,t)=2(t). неоднородные условия 1-го рода.

3)Края струны свободно перемещаются в пространстве:

однородное условие 2-го рода. U-отклонение точек ст-ны

Возможны различные комбинации записанных условий.

Начальные условия - задание нач. отклонения и нач. импульса точек струны:

Возбудить колебания струны можно либо заданием внешней силы (правая часть уравнения колебаний) либо не нулевыми нач. усл, назыв. собственными колеб.струны.

Совокупность сформулированных краевых и нач. условий гарантирует ед. решения волнового ур-ия.