
- •Вопрос 1)Обыкновенные ду с постоянным коэфиц.
- •Вопрос 2)Построение частного решения методом импульсной реакции
- •Вопрос 3)переходная ф-ия интеграл Дюамеля
- •Вопрос 4) Задача Коши, двухточечная задача
- •Вопрос 5)Метод комплексных амплитуд
- •Вопрос 6)Частное решение при периодической правой части
- •Вопрос 7)Преобразование Лапласа и его применение для построения частного решения
- •Вопрос 8)Преобразование Фурье и его применение для построения частного решения.
- •Вопрос 9)Уравнение Эйлера, его базисные решения
- •Вопрос 10) Уравнение Бесселя, его базисные решения
- •Вопрос 11)Графики ф-ии бесселя,модифицированное уравнение Бесселя,графики модифицированных ф-ий Бесселя
- •Вопрос 12)Ортогональность ф-ии Бесселя,ряд Фурье Бесселя
- •Вопрос 13) Ур-ие Лежандра, полином Лежандра, их графики
- •Вопрос 14)ортогональность полиномов Лежандра
- •Вопрос 15)Присоединенные полиномы Лежандра
- •Вопрос 16)Основные ур-ия математической физики. Корректность постановки задач математической физики
- •Вопрос 17) Безвихревое стационарное обтекание тел жидкостью, газом.
- •Вопрос 18)Ур-ие теплопроводности, постановка задачи для него.
- •Вопрос 19)Ур-ие малых колебаний струны, начальные и краевые условия
- •Вопрос 20)Электростатическое поле между заряженными проводящими телами
- •Вопрос 21)Ур-ие Максвела, телеграфные ур-ия для векторов поля.
- •Вопрос 22)Ур-ие Лапласа, основные св-ва гармонических ф-ии
- •Вопрос 23)Краевые задачи для ур-ия Лапласа
- •Вопрос 24)Конечно разностная аппроксимация ур-ия Лапласса
- •Вопрос 25)Фундаментальное решение ур-ия Лапласса
- •Вопрос 26)Основное тождество гармонических ф-ий
- •Вопрос 27) Электростатическая интерпретация основного тождества
- •Вопрос 29)Единственность решения внешней задачи Дирихле и Неймана
- •Вопрос 28)Единственность решения внутренних задач Дирихле и Неймана
- •Вопрос 30) Метод Фурье общая схема
- •Вопрос 31)Разделение переменных в полярных координатах
- •Вопрос 32)Решение задач Дирихле и Неймана для круга
- •Вопрос 33)Электростатическое поле внутри и вне диэлектрического цилиндра помещенного во внешнее поле е0
- •Вопрос 34)Разделение переменных в декартовых координатах.
- •Вопрос 35) Решение задачиДирихле для прямоугольника
- •Вопрос 36)Разделение переменных в цилиндрических координатах
- •Вопрос 37)Стационарное температурное поле внутри цилиндра
- •Вопрос 38) Метод ф-ии Грина.Ф-ия Грина,задачи дирихле
- •Вопрос 39)Приближенное построение ф-ии Грина
- •Вопрос 40)ф-ия Грина задачи Неймана,её св-ва
- •Вопрос 41)Решение задачи Дирихле для полупространства.
- •Вопрос 42)Решение задачи Дирихле для круга
- •Вопрос 43) Плоские гармонические векторные поля и методы их исследования.
- •Вопрос 44) Метод комфортных отображений. Интеграл Пуассона для полуплоскости.
- •Вопрос 47)Ур-ие Лапласса и вариационный принцип Дирихле
- •Вопрос 48) Метод Ритца
- •Вопрос 49)Методы взвешенных невязок,метод коллокации
- •Вопрос 50)Метод наименьших квадратов
- •Вопрос 51)Метод Галёркина
- •Вопрос 52)Граничные интегральные ур-ия.Решение задачи Дирихле Методом гиу
- •Вопрос 53)Решение задачи Неймана методом гиу
- •Вопрос 54)Теорема Фредгольма
- •Вопрос 1)Потенциалы простого и двойного слоев. Теорема о потенциале простого слоя
- •Вопрос 2)Теорема о потенциале двойного слоя
- •Вопрос 3)Применение потенциалов для решения краевых задач для ур-ия Лапласа. Задача Робэна
- •Вопрос 5)Решение задачи Неймана методом иу
- •Вопрос 6)Решение задачи Дирихле методом иу
- •Вопрос 7) Решение ур-ия Пуассона,теорема об объемном потенциале
- •Вопрос 8)Ур-ие диффузии,постановка начально-краевых задач для него
- •Вопрос 9) Теорема единствености реш-я начальн краев. Задач для ур-я диффузии
- •Вопрос 10) Метод конечных разностей для ур-я диффузии
- •Вопрос 11) Метод установления для ур-я Лапласа. Эволюц. Метод
- •Вопрос 12) Метод разделения переем. (Фурье) для ур-я диффузии.
- •Вопрос 13) Примен. Преобр-я Лапласа для реш. Ур-я дифф
- •Вопрос 14) Прогревание полупространства. Задача Релея.
- •Вопрос 15) Интеграл Дюамеля.
- •Вопрос 20) Фундамент р-ние ур-ния тепло-сти в своб. Пр-ве
- •Вопрос31 ) Решение неоднородного волнового ур-ния. Запаздывающий интеграл.
- •Вопрос 29)Волны в полуограниченной струне.
- •Вопрос 17) Расчет критических размеров при цепных реакциях
- •Вопрос 46) Решение задачи Дирихле для полосы
- •Вопрос 45)Решение задачи Дирихле для круга.
- •Вопрос 16)Температурные волны.
- •Вопрос 18)Интегродифференциальные ур-ния начальных краевых задач для ур-ия диффузии.
- •Вопрос 19) Скин эффект в проводнике произвольного сечения.
- •Вопрос 20)Фундамент р-ние ур-ния тепло-сти в своб. Пр-ве.
- •Вопрос 35)свободны колебания прямоугольной мембраны
- •Вопрос 36)Рассчитать свободные колебания круглой мембраны радиуса b, обусловленной не нулевым начальным отклонением и начальной скоростью. Повторить все в полярных координатах
- •Вопрос 37)Сведения начально-краевой задачи для волнового ур-ия к интегро-диференц. Ур-ию
- •Вопрос 40) Электро магнитные колебания в объемном резонаторе
- •Вопрос 41)Метод конечностных разностей для волнового ур-ия
- •Вопрос 21) Задача Коши для однородного уравнения теплопроводности
- •Вопрос 22) Цилиндрически и сферически симметричное решение уравнения теплопроводности
- •Вопрос 23) Волновое уравнение
- •Вопрос 24)Интеграл энергии и теорема единственности решения начально краевых задач для струны
- •Вопрос 30)Сферические волны.
- •Вопрос 33) Колебания в ограниченных объемах.
- •Вопрос 25) Эл. Колебания в длин линии.
- •Вопрос 26) эм колеб-ия в объемном резонаторе.
- •Вопрос 32) Запаздывающие потенциалы а эл/дин
Вопрос 23) Волновое уравнение
Общий вид:
a – скорость распространения волны, f – источник колебания (внешняя вынуждающая сила)
Известно, что общее решение представимо в виде:
где
– решение однородного уравнения, а
– какое либо частное решение.
В качестве частного решения можно использовать запаздывающий объемный потенциал:
– шар
с центром в M
и радиусом at
Если f – финитна (т.е. определена в конечной области пр-ва), то через некот время tmax , инт будет явл носителем этой ф-ции. Запаздывающий инт явл аналогом объёмного потенциала для уравнения Пуассона.
Для ВУ также как для ур-я Лапласа вводятся запаздывающие потенциалы двойного и простого слоя, св-ва которых аналогичны св-ам потенциала для ур-я Лапласа.
Вопрос 24)Интеграл энергии и теорема единственности решения начально краевых задач для струны
Интеграл энергии и теорема единственности.
На примере колебаний струны докажем единственность решения всех поставленных выше нач- краевых задач.
Р/см интеграл энергии для струны:
где
p
– натяжение, а
- плотность.Если краев условие на концах
струны однородно, то
dЭ/dt = 0.
Продифференцируем (*) под знаком интеграла:
интегрируя, это соотношение вдоль струны и учитывая однородность нач условий, получим:
Предположим что существует 2 решения для нач краев задачи, тогда разность этих решений удовлетворяет:
из последнего следует, что интеграл (*) = 0. Т.к. краев условия однородны, то Э(t) = 0 в последующие моменты времени. Из (*) следует, что:
Из нач условий следует, что эта const = 0, т.е. 1 = 2
Краевые и начальные условия.
Ур-ие колеб-й струны имеет беск. много решений. Конкрет решение выделяется заданием доп. условий, для этого ур-ия являющимися краевыми и начальными. Р/см краевые условия для струны:
1) Края струны жестко закреплены:
U(0,t)=U(l,t)=0; краевые условия 1-го рода.
2)Края струны движутся по определенным законам:
U(0,t)=1(t); U(l,t)=2(t). неоднородные условия 1-го рода.
3)Края струны свободно перемещаются в пространстве:
однородное условие 2-го рода. U-отклонение точек ст-ны
Возможны различные комбинации записанных условий.
Начальные условия - задание нач. отклонения и нач. импульса точек струны:
Возбудить колебания струны можно либо заданием внешней силы (правая часть уравнения колебаний) либо не нулевыми нач. усл, назыв. собственными колеб.струны.
Совокупность сформулированных краевых и нач. условий гарантирует ед. решения волнового ур-ия.