Вопрос 6)Частное решение при периодической правой части

Построение частного решения при периодической правой части : Пусть правая часть ДУ m(d²u/dt²)+r(du/dt)+ku=F (*) периодическая ф-ция с периодом T: F(t)=F(t+T). Разложим её в ряд Фурье: F(t)=a₀+_k=1^A_ksin(ω_kt+ψ) ; ω_k=2πk/T; A_k=(a_k²+b_k²);

a_k=(2/T)_-T/2^T/2 F(t)cos(2πk/T)dt;

b_k=(2/T)_-T/2^T/2 F(t)sin(2πk/T)dt;

a₀=(1/T) _-T/2^T/2F(t)dt

ψ =arctg b/a Каждое слагаемое этого ряда называется гармоникой. Подставляя выр-е вынужд силы в ДУ (*) и исп-я метод наложения, можно записать частное решение в виде: u_f (t)=_k=1^ u_F^k(t); u_F^k – частное решение ДУ (*), соответствующее k-той гармонике, оно может быть построено МКА.

Вопрос 7)Преобразование Лапласа и его применение для построения частного решения

ОДУ m(d²U/dt²)+r(dU/dt)+kU=f(*)Пусть прав часть ДУ определена на полуоси [0;) и не явл абсолютно -мой ф-цией на ней. В этом случае част. реш. можно построить методом имп. реакции. Однако для его построить удобнее используя интегральное преобр Лапласа.Р/м мн-во функций f(t) определенных на полуоси [0;] и удовлетворяющих след св-вам:

1)f (t)=0 , t<0

2) f (t) кусочно-непрерывна на [0;]

3) | f (t) | < Ae ^t ; -показатель роста ф-ции A-const

Ф-ции удовлетв. (3) назыв ф-ями медленного роста.Мн-во ф-ций удовлетворяющих этим св-вам образуют мн-во оригиналов. Сопоставим каждой ф-ции из мн-ва ориг-лов ф-цию комплекс перемен по правилу: (P)= ₀^ f(t)e^-ptdt –преобраз-е Лапласа p=+jМн-во ф-ций комплексного переменного F (P) образуют мн-во изображений по Лапласу. Каждой ф-ции из этого мн-ва можно сопоставить оригинал по правилу:f(t)=1/2i _{-j } ^{+j } (P)e^pt dp – обратное преобр Лапласа (интеграл Меллина). Прям. и обрат. преобраз. Лапласса устанав-ливает взаимно-однозначное соответствие между мн-вом оригиналов и изображений. Для ф-ций из мн-ва ориг-лов прямое и обрат преобраз сущ-ет.

Св-ва преобразований Лапласа:

1) Линейность: f(t)+g(t) <->  P)+Ġ(p)

2) Подобие: f(ct) <-> [1/c]*[ (P/c)]

3) сдвиг : f(t-) <-> e^-p (P)

4) Смещение: e^λt f(t) <-> F(P-λ)

5) Дифференцирование оригинала:

f ^/ (t) <-> P (P) – f(0)

f ⁽ⁿ⁾(t) <-> Pⁿ [ (P) – f(0)/P -…- f ^n-1(0) / Pⁿ]

6) Дифф-е изображения: F ⁽ⁿ⁾ (P) <-> (-t)ⁿ f(t)

7) -е оригинала: ₀^t f(t)dt <-> (P)/P

8) -e изображения: ₀^ (P)dP <-> f(t)/t

9) Свертке оригиналов соответствует произведение изображений: f*g <-> (P)Ġ(p)

10) Интеграл Дюамеля: P (p)Ġ(p) <->

f(0)g(t)+₀^t f ^ʹ() g(t-)d=g(0) f(t)+ ₀^t gʹ()f (t-)d

Вернемся к (*) Пусть все ф-ции входящие в ур-ние принад мн-ву оригиналов. Сопоставляя им изображ по Лапласу и используя св-ва преобраз. Лапласса получим:

mp²Ů(P)+rPŮ(P)+kŮ(P)-m[pU(0)+Uʹ(0)]-rU(0)= (P)

Ů(P)= (P)+ (P) / [mP²+rP+k] = [ (P)+ (P)] / (P)

U(t)- легко восстановить с помощью -ла Меллина

U_f (t)=1/2J _-J ^+J {[F(P)+B(P)]/K(P)}e^pt d

Очень просто получить реш. при нулевых н. у. когда В(Р)=0 в этом случае р/м вспомогат ур-ние ДU₁=1

Применяя преобраз. Л. получим:{ K(P)Ů₁(P)=1/P

{ K(P)Ů(P)= (P)

Преобразуя: Ů(P)=PŮ₁(P) (P) . В соответсвии с (10):

U_f (t) = U₁(0)f(t)+₀^t U₁^ʹ (t)f (t-)d

Последнее соотн выражает ч. реш. ДУ(*) с однородн. н. у. через решение ДУ с единичной правой частью.

K^-1(P) назыв операторной передаточной ф-цией. Легко установить связь имп. реакции sys и операт. передаточной ф-цией. PŮ₁(P)= K^-1(P)= Ġ(p)

Преобразов Лапласа используется при реш.ОДУ и систем ОДУ.Метод преобразов Лапласа называют операторным методом. Основ сложность - восстановлении оригинала по заданному изобр-ю, т.е. вычисление -ла Меллина.В одном употребительном в приложениях случае интеграл Меллина удается легко вычислить и получить результат в аналитической форме: Пусть изображение искомого решения имеет вид: Ů(P)=N(P)/M(P) Где M,N многочлены относительно P. Причем степень N < M, если нет, то следует предварительно выделить целую часть. Разложим рациональную дробь N(P)/M(P)на простые: N(P)/M(P)=_k=1 ^m C_k / [P-P_k]

P_k – корни ур-ния M(P)=0 . Пусть есть только простые корни. Коэф. C_k легко найти умножив левую и прав части на (P-P_i) и перейдя к пределу при P-> P_i

lim _P-->Pi [N(P) (P-P_i)]/M(P) = C_i

По правилу Лапиталя: C _i = N(P_i) / M ^ʹ(P_i) . Подставляя C_i в выраж для Ů(P) и выч интег Меллина:

U(t)=1/2i _k=1^m _-j ^+j [N(P_k)/M^ʹ(P_k)][ e^pt /(P-P_k)]dP =

=_k {N(P_k) / M^ʹ(P_k)}*{ 1/2j _-J ^+J [e^pt /P-P_k]dP}

В [ ] стоит оригинал изображения 1/(P-P_k)он равен e^Pkt

U(t)= _k=1^m {N(P_k)/Mʹ} (P_k)*e^Pkt

Заметим, что если изображение имеет вид:

N(P) / PM(P), то для оригинала получим:

U(t)=N(p)/M(p) +_k=1^m {N(P_k)/P_kMʹ(P_k)}*e^Pkt

Записанные ф-ии в операторном виде называются ф-ми разложения.Преобраз. Замечание 1

если ур-ие М(р)=0 имеет кратные корни, то повторяя выкладки можно получить более сложные ф-ии для оригиналов .Замечание 2 изложенный метод построения оригинала есть применение теоремы вычетов интеграла Меллина

.Лапласа широко используются при исследов переходных процессов в лин. электрических цепях. В этом случае изображение всегда имеет вид N(P)/M(P) и ф-лы позволяют легко найти результат