Вопрос 29)Волны в полуограниченной струне.

Р /см полуогранич струну с закреплен или скользящ концом. В этом случае к задаче Коши можно добавить след краев условие:

. Волны в этой струне буду такие же как и в неогранич струне для кот нач условие ₀ и ₁ продолжены на отриц полуось (нечетно) – закреплённый конец, или чётно - закреплённый конец. При этом полуволны начального отклонения (импульса) двигающиеся к точке х₀ справа будут уходить из струны, заменяясь со встречно движущимися зеркальными отображениями того же знака (скользящ конец) или противоположное (закреплён конец). После этого для постр. реш. достат-но восп. формулой Даламбера:

Вопрос 17) Расчет критических размеров при цепных реакциях

Пусть некоторый объем неравноремно заполняют газом с концентрацией U(М,t).В этом случае будет происходить диффузия вещ-ва из точек с большей концентрацией к точкам с меньшей.При диффузии некоторых газов возможна реакция распада молекул этого газа.Скорость реакции пропорциональна концентрации поэтому ур-ие диффузии в этом случае будет иметь вид при отсутствие источников концентрации:

a =0 ; описывает реакцию молекул при диффузии.Это уже можно получить при выводу ур-ия диффузии если ввести информацию о реакции молекул.В стационарном случае имеем:

U+ U=0; Ур-ие Гельмгольца.эта модель используется при исследовании цепных реакций.В этом случае частицы диффундирующего вещ-ва вступают в реакцию со средой,размножаются.Так при столкновении нейтрона с ядром происходит деление ядра с появлением новых нейтронов.При некоторых условиях количество нейтронов лавинообразно возрастает.Начинается цепная реакция.Установим эти условия.Ур-ие описывающее диффузию имеет вид:

;

Введем новую переменную

U(M,t)= (M,t) e^βt

По такому правилу приведем ур-ие к виду

;

ранее было показано что решение для ур-ия v представимо в виде:

v(M,t)= _kΨ_k(M) e^-λ(k)at ;Возвращаясь к ф-ии U получим: U(M,t)= _kΨ_k e ^(β-aλk)t ; (*) Ψ_k и λ_kрешение задачи Штурма Лиувилля

; M V; Из задачи Штурма –Лиувиля следует что значение чисел λ_к определяется геометрией области V.Из (*) следует что если хотя бы для одного «к» (β-аλ_к) , концентрация вещ-ва экспоненциально возрастает, начинается цепная реакция.Говорят что обл V имеет при заданном β (коэф.пропорц) критические размеры если λ₁=β/а.Из изложенного следует способ определения критических размеров области.В качестве примера рассмотрим бесконечный слой L . Задача Штурма Лиувиля для слоя имеет вид:

{d²Ψ/dx²+λΨ=0

{Ψ(0)=Ψ(L)=0

Ψ_k(x)=sin [λ_k ] *x

sin [λ_k ]L=0 λ_k(k /L)²; k=1,2…

L_kp= -кртические размеры.

Аналогично можно решить такую задачу для цилиндрического и сферического слоя.