Вопрос31 ) Решение неоднородного волнового ур-ния. Запаздывающий интеграл.

Р/см неоднородное волновое ур-ние: ,а-скорость, f-источник колебаний. Известно, что общее решение представимо в виде: , где 0 – решение однородного уравнения, а f – какое либо частное решение.В качестве частного решения можно использовать запаздывающий нтеграл: Если f – финитна (т.е. определена в конечной области пр-ва), то через некот время tmax , инт будет явл носителем этой ф-ции. Запаздывающий инт явл аналогом объёмного потенциала для уравнения Пуассона. Аналогично объемному р/см-ся запаздывающие потенциалы двойного и простого слоя. Запаздывающие потенциалы находят широкое применение в электродинамике при изучении эл.маг. волн в пр-ве.

Вопрос 34)Общая схема метода Фурье для волнового ур-ния. Пусть в некот замкнутой обл V необходимо решить задачу вида: . Если краев услов задано неоднородным, следует репродуцировать их к однородным. В соответствии с методом Фурье частное решение будем искать в виде: Для опред U(M) получим задачу Штурма-Лиувилля (задача на собственные значения). Найти знач пар-ра  при кот ур-ние имеет не нулевое решение с нулевыми краев условиями. Такие значения пар-ра  наз собственными значениями задачи, а соответствующие значения собственными ф-циями задачи. Для некоторых канонич областей, границы кот совпадают с координ пов-тями ортогон координат, задача Штурма-Лиувилля имеет аналит решение. Для произв областей её решение строится численно. Общие св-ва собств чисел и ф-ций можно установить не решая задачу:1) Сущ счётное мн-во собств чисел: ₁  ₂  ₃…; 2) Все собств числа положит _k > 0; 3) Собств ф-ции U_k ортогон в обл V: ; 4) Собств ф-ции задачи образ полную сист ф-ций, т.е. любая дважды дифференц ф-ция f удовл краев услов представляется в виде равномерно сход. ряда: Перечисленные св-ва задачи позволяют построить решение нач краев задачи в виде: где Ак и Вк – коэф Фурье и орпед нач услов задачи.

Вопрос 38)Метод комплексных амплитуд (МКА). Ур-ние Гельм – Гольца. Р/см неоднр волновое ур-ние: . Пусть все ф-ции входящ в ур-ние измен по з-ну синуса, тогда сопоставим их комплексным амплитудам по п-лу: ; - волновое число.Ур-ние такого вида наз ур-нием Гельм-Гольца. Св-во и методы решения аналогично ур-ниям Пуассона. .

Вопрос 39)Фундаментальное решение ур-ния Г-Г. Построим сферич симметр решение ур-ния. В сферич коорд ур-ние имеет вид: Общее решение: + , . Функции вида являются фундаментальными уравнения Гельмгольца. Первая ф-ия опис. симметр-но отражённую волну, вторая сферич. симметр. пад. волну. Для ур. Гельмгольца могут быть построены реш-я для прост. и двойного слоя. Эти потенциалы получаются замен. .

В опрос 27)Одномерные волны. Формула Даламбера.На примере струны р/см колебания на всем пр-ве обусловленное только начальными условиями. Такие колебания описываются задачей Коши:

Непосредственной проверкой можно убедиться что решение представляется в виде:

где ₁ и ₂ – произвольные, диф по x ф-ции.₁ – описывает волну движения в направлении х со скоростью а. ₂ – описывает волну движущейся со скоростью а против оси х. Построим решение поставленной задачи Коши (*), вид ₁ и ₂ определённо удовл услов задачи: _,интегрируем вторую строку: где x₀ и с произвольные const. Тогда получим: Подставляя найден ф-ции в общем решении, получим: Это решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения и наз формулой Даламбера. Некоторые св-ва ф-лы Даламбера.

1) Из ф-лы Даламбера следует, что решение u(x,t) определ нач отклонением [x-at,x+at] и начальным импульсом на всём этом отрезке. Все другие значения ₀ и ₁ не влияют на u(x,t). Поскольку к моменту t это влияние распространяется со скоростью а не доходит до точки х.

2) Введем ф-цию ,тогда формулу Даламбера можно привести к виду: 1-ое слагаемое наз полуволнами нач отклонения, а 2-ое слаг полуволны нач импульса.3) Из формулы Даламбера следует, что при чётных нач условиях ₀ и ₁ , решение также будет четной ф-цией, т.е. будет удовл условию: . При нечетных нач условиях, решение будет нечетное, т.е.: . Это св-во позвол использ ф-лу Даламбера для исследования волн в полуогранич струне.