Вопрос 10) Метод конечных разностей для ур-я диффузии

Проиллюстрируем применение метода на примере реш. 1 нач. краевых задач на плоскости { T/t = aT ; T_L=f ; T(M,0) = (M) }. Покроем область S линиями параллельн. осям х и y сеткой с шагом х=y=h )шаг может быть и переменным, но для простоты – const) Определим на этой сетке сеточную ф-ию T_{i j.} Р/м фрагмент / см рис. Апроксимируем централ. разностями и перепишем в виде : T_{i j} /t = (₁+₂)T_ij (*); ₁Tij = a(T_{i +1,j} - 2T_ij + T_i-1,j ) / h^2; ₂Tij = (a/h²)(T_i,j+1 - 2T_ij + T_i-1,j) Проинтегрируем (*) по t от t_k до t_k+1 и результат разделим на t :(T_ij ^k+1 – T_ij^k )/t = (₁+₂)T^~_ij, где T ^~ij = (1/t) _tk^tk+1 T_ij dt /В зависимости от способа вычисл. интеграла T ^~ получают различные схемы для реш ур-я диф-ии. Р/м 2 наиболее употребительные : 1) Пусть например T ^~ij¹=T_ij^k В этом случае получаем явную конечно разностную схему: T^k+1_ij=t(₁+₂) T^k_ij+ T^k_ij Здесь при k=0 правая часть известна и по этой ф-ле вычис-ляется значение искомой ф-ии в момент k+1. Полученная сеточная ф-ция подставл-ся в прав часть и т.д. до установ-ления. Однако обладает 1-м недостатком: Она условно устойчива к погрешностям округления. (ta) / h ² < 1 – Условие устойчивости. Это усл накладывает жесткие требования к соотношению шагов t/h². что при больших скоростях диффузии приводит к очень мелким рублениям. По этой причине она используется редко.2) теперь T ^~_ij = T^k+1_ij В результате получим неявную безусловно устойчивую к погрешностям вычислений схему.T ^k+1_ij - t(₁+₂)T ^k+1_ij = T ^k_ij ( t , h), при k=0 правая часть известна, а для нахождения T ¹_ij нужно решить СЛАУ. В этой схеме на каждом временном слое нужно решать СЛАУ.

Вопрос 11) Метод установления для ур-я Лапласа. Эволюц. Метод

Описанной выше процедурой решили ур. диф. Можно юзать для построения одного из вариантов методовреш. краевых задач для ур. Лапласа. Пусть например в некото-рой плоской обл. нужно реш. з.Д. для ур.Лапласа. { U=0 в S , U_L = f } (*). Р/м вспомогательную (эволюционную) задачу вида: { V/t = V (**); {V_L = f : V(M,0)=g(M), где g(M) – произвол. ф-ция совпадающая на границе с ф-цией f. Покажем что при t  решение задачи (**) асимптотическое  решению (*) т.е. V(M,t)U(M), t Вычитая (*) из (**) получим что ф-ия (M,t) = V - U удовл.усл.: { /t = ; (***); { _s= 0: (M,0) = g(M)-U(M), здесь  (M,0)- произвол ф-ия, на границе обращается в 0. Ниже показано что решение (***) представимо в виде:  (M,t) = ^_k=1C_ke ^--кt_k(M), где _k и _k решение следующей задачи Штурма-Лиувиля { _k = -_k_k; { _k|_L = 0, а C_k = _S (M,0) _k(M)dS. Можно показ.,что числа _k положит и образ счетное мн-во ₁  ₂  ₃  … А ф-я _k образ. полную ортонормир систе-му : _S _k _ndS = {1, k = n; {0, k  n. Используя св-ва собственых ф-ций оценим норму ф-ции  (M,t) _S ²dS = _kC²_k exp(-2_kt)  exp(-2₁t)_kC_k² <. Тогда при t _S ²dS0 Что говорит о том, что (M,t)0 т.е. V(M,t)U(M) при t. Установление эволюционного решения происходит очень быстро благодаря exp-затуханию начальных данных. Этот метод явл одним из основных.