Вопрос 5)Метод комплексных амплитуд

Рассмотрим частные случаи построения решения ДУ m(d²u/dt²)+r(du/dt)+ku=F (*).При любой малой части, частное решение ДУ(*) может быть получено с помощью импульсной реакции однако в некоторых случаях следует использовать другой метод.один из таких случаев когда правая часть ДУ(*) (*),

есть sin-ф-ция времени:

m(d²u/dt²)+r(du/dt)+ku=F_msin(ωt+ψ) (*)

Здесь F_m – амплит, ω – круговая частота, ψ – нач. фаза. Частное реш можно выразить через имп. р-цию. Однако результат и выкладки очень сложны и неудобны. При sin правой части, решение тоже sin и м.б. представлено в виде: u_f(t)=u sin(ωt+ψ) Известные u и . Их можно найти, подставляя предполагаемое реш. в ДУ (*). Суть метода заключается в замене sin-ф-ций некоторыми комплексными выр-ями, которые называются комплексами или кмплексными амплитудами. При этом дифференциальные и интегральные операции над sin-ами заменяются алгебраическими операциями над их комплексами. Операции над комплексами значительно проще чем над sin-ами.

Р/м это подробнее: Известно, что  sin ф-ция м.б. представлена в виде:

a(t)=A sin(ωt+ψ)=A_s sinωt +A_c cosωt. Если рассматривать мн-во sin-оид частоты ω

(фиксированной), то  sin-оида яв-ся однозначной {A,ψ} – Поляр; {A_s,A_c} – Декарт. парой чисел удобно использовать комплексную пл-ть: каждой точке соответствует единственная пара. Образуем из {A,ψ} комплекс. число: A(с точкой)=Ae ^{j φ}  a(t). Ставится в соответствие взаимно однозначная ф-ция a. A – наз-ся комплексной амплитудой sin-оиды a(t) или её комплексом.

1)a(t)=sinωt : A=1e⁰=1

2) a(t)=sin(ωt+π/2) : =e^jπ/2 a(t)=sin(ωt+π/2)

e^jφ=cosφ+jsinφ

3) =1+j : A=(1+1)=2 ; φ=π/4

e^{iπ /4} a(t)=2 sin(ωt+π/4)

4)A=a+jb=(a²+b²) ; e^jarctg(b/a)

a(t)=(a²+b²) sin(ωt+arctg(b/a))

Р/м нек-рые операции над синусоидами, приводящие к синусоидам той же частоты и соответствующие им операции на мн-ве комплексных амплитуд:

1) линейной комбинации синусоид соответ линейная комбинация их комплексов: αa(t)+βb(t)  α +βḂ

2) фазовому сдвигу синусоиды соответ умножение её комплекса на экспоненту: Asin(ωt+ψ+φ)  e^iф

3) операции диф-я синусоиды соответствует умножение на (jω) её комплекса: d/dt[Asin(ωt+ψ)]= =Aωcos(ωt+ψ)=Aωsin(ωt+ψ+π/2)  Ajωe^jψ= jω

4) операции интегрирования синусоиды соответствует деление на (jω) её комплекса.

Вернёмся к решению ДУ (*). Положим, что все ф-ции синусоидально изменяются во времени. Сопоставляя им комплексные амплитуды и исп-я операции, получим: m(jω)²u+r(jω)u+ku=F получил алгебраическое Ů=Ḟ/K(ω)

K(ω)=m(jω)²+r(jω)+R=(R-mω²)+j(rω)-называется импедансом или комплексной жесткостью системы

Для возвращения на мн-во синусоид удобно F и K записать в показательной форме: F=Fe^jφ; K(ω)=|K|e^jarctgK;

argK=arctg(rω/(K-mω²))=ψ;

|K|=((R-ω²m)²+(rω)²);

Ů =Fe^jφ/(|K|e^jψ)=(F/|K|)e^j(φ-ψ)

u_f(t)=(F/|K|){sin(ωt+φ_f-ψ)}

Заметим, что МКА не работает при равном нулю нулевом импедансе. Этот случай наз-ся резонансом. При резонансе синусоидальных част реш у ДУ не : Приравнивая Re и Im части импеданса, находим: ω=(k/m); r=0 Частное решение при резонансе можно представить в виде: u_f (t)=fv(t).

Подставляя ф-цию в ДУ (*), получим: t(mvʹʹ+Rv)+2mfʹ=F(t) При резонансной частоте круглая скобка аннулирует v(t), в результате: 2mvʹ=F . Это ур-е можно решить МКА: 2mjωV=F;

V=iF/2mω {F=Fe^j(φ-π/2) } v(t)=(F/(2mω))sin(ωt+φ+π/2)

u_f (t)=(tF/(2mω))sin(ωt+φ_f+π/2) – частное решение при резонансе. Замечание: МКА нашёл широкое применение при ииследовании синусоидальных колебаний в эл/цепях.