Вопрос 8)Ур-ие диффузии,постановка начально-краевых задач для него

Ур-е диффузии:  a (t) = f, a – физ величина характерезует скорость диф, f-конкрет-ная ф-ция. Диф оператор ур. Дифузии лин., поэтому общее решение представимо в виде  ₌  _f +  ₀ Типичным представлением ур.Диф. явл ур. теплопроводности, кот описыв распространение тепла в пр-ве. Постановки начальных краевых задач для ур дифф: Для ур.дифузии характерными явл след. нач. краев. задач (краев. задачи опред. способом теплообмена с окруж. средой): 1)кр. улс. 1-го рода: Дирихле, заключ. в задании искомой ф-ии на границе Т|_S = ψ(M) _{M э S}; 2) кр. улс. 2-го рода: Неймана, Т/n|_S = ψ(M) _{M э S} , задание нормаль. произв. на границе; 3) кр. улс. 3-го рода: заключаются в задании лин. Комбинации  Т +  Т/n| _S = ψ(M) _{M э S.} ; 4) смешанное кр. усл.- на части задаётся искомая функция, на другой тепловой поток. нач. условия опис-ют разд. темпер. в нек-ый t=0. Оно содер. в себе инф-ию об источ. действия до этого момента. Совокуп. урав-ий краев. и началь. условий, образует начально-краевую задачу для ур-ия теплопроводности.

Вопрос 9) Теорема единствености реш-я начальн краев. Задач для ур-я диффузии

Р /м краевую задачу для ур. диф общего вида : { div ( k gvad U ) - c(u/t) = f; { U (m,0) = (M) ; { ( γ₁(u/n) + γ₂u )|_s = (M,t) ,M є S (*). Здесь при γ₁ = 0, γ₂  0 получаем (1) кр. задачу , γ₂ = 0, γ₁  0 – (2) кр. задачу, γ₁ = γ₂  0 – (3) кр.задача. Покажем что если задача (*) разрешима то ее решение – единственно: Теорема Единственности: Решение задачи (*) непрерыв-ная вместе с 1-ми ёё частными роизводными по x и t в обл V = V+S единственно. Док-во: Пусть U₁ и U₂ – 2 реш-я задачи (*). Тогда ф-ция V=U₁+U₂ – удовл услоиям: { div (k grad V) - c(V/t) = 0;{ V(M,0) = 0; { (γ₁V/n + γ₂V_s =0. (**) Применим к ф-ии: f₁=V, f₂=V первое тождество Грина, для диф оператора div(k grad V): _VV div(k grad V)dV= -_V k( V )² dV _. Учитывая задачу (**) перепишем тождество в виде: _V cV(V/t)dV = - _V k( V)²dV + _. Для 1 и 2 нач краевых задач это тождество преобразуется к виду: _V c(/t)(V²)dV = - 2_V k(V)²dV (***) Использ. задачу (**) запишем тождество для 3 нач. кр. задачи: _V c(/t)(V²)dV = -2_V k(V)²dV - 2_S k(γ₂/γ₁)V²dS . Интегрируем тождество (**) в пределах от 0 до T: {_V cV²(M,T)dV_M = - 2^T₀ _V k(V)²dVdt; {_V cV²(M,T)dV_M = -2^T₀ _V k(V)²dVdt -2_sk(γ₂/γ₁)V²dS (получается x = - x что выполняется при х=0). Левые части неотрицательны, а правые не положительны. Поэтому равенство возможно лишь при равенстве нулю всех интегралов: из _V cV²(M,T)dV_M=0 следует V(M,T)=0. В силу произвольности T: U₁₌U₂ ЧТД. Принцип max и min для однородного уравнения диффузии: Всякая ф-ия φ (M,t) удовлетворяет в области однородному уравнению диффузии, достигает наибольшего значения либо в 0 либо в S. (физический факт, что тепло в пространстве передаётся от более нагретой точки к менее нагретой).