Вопрос 43) Плоские гармонические векторные поля и методы их исследования.

Век-ое поле наз-ся плоским если все век-ры поля паралл-ны некот-ой фиксир-ой в простр-ве плоскости S, и не меняются в направлении ортогональном S. Любой вектор

. Если вект-ое поле явл-ся гармон-им, то {rot } . Получаем условия Коши-Римана: { }, ф-ии -гармонические. Опред-ие: Две гарм-ие ф-ии удовл-ие услов-ям Коши-Римана наз-ся сопряженными. Опред-ие: Ф-ия комплексного переменного наз-ся комплек-ым потенц-ом вектора . , |= . Из опред-ия компл-го потенц-ла следует, что ф-ия комфортно отображает обл D в плоскости z, где опред-но вектор-ое поле в обл-ти в плоскости w=f(z). При этом в эквипотенциали будут паралл-ны мнимой оси, а векторные линии паралл-ны действительной оси. Пусть в обл D нужно решить ЗН. { = 0; } Потребуем выполнения условия d . Вместе с ф-ей  рассм-им сопряженную ей ф-ию ψ, эти ф-ии связаны усл-ем Коши-Римана. Справедливо представление: Выбирая любое получаем ЗД, кот-ую решать легче. { = 0; }

Вопрос 44) Метод комфортных отображений. Интеграл Пуассона для полуплоскости.

Если ф-ия в каждой точке обл-ти D удов-ет усл-ию то она осущ-ет комфортное отобр-ие обл-ти D на обл-ть . Пусть ф-ия отоб-ет обл-ть D из плос-ти z на внутрен-ть единичного круга в плоск-ти w, так что точка переходит в центр круга. Р/м ф-ию и ее свойства: 1) При , ф-ия имеет логариф-ую особенность. 2)Ф-ия гармонична в обл-ти D всюду, где , как действ-ая чвсть аналитич-ой ф-ии Ln(Z)= . 3) На контуре L огран-ой обл-ти D, имеет место соотношение . 4) Ф-ия симмет-на относит-но аргумента. Эта ф-ия явл-ся ФГ для ЗД G( )= . Вывод: Чтобы постр-ть ФГ ЗД для плоской обл-ти, эту оббл-ть нужно комфортно отобразить на внутр-ть единичного круга, так чтобы точка перешла в центр круга. ФГ будет иметь вид: G( )=

Вопрос 47)Ур-ие Лапласса и вариационный принцип Дирихле

Р еш-е многих краев задач мат физики эквив-но минимиза-ции некот ф-ционала, связ с конкрет краев задачей. В эт случ говор, что кр. задача эквив-на вариац задаче. Устан связь м/д краев задачами ур-я Лапласа и Пуассона и соотв вариац задачами на конкрет примере. Р/м стац растек-е тока в пров-ке произвол сеч-я с проводимостью γ(M)>0. (M)-плот тока. I=_S (M)dS_M. Ур-е, опис растек-е тока, имеет вид: { ; подставляя получаем ур-е для : Итак, при стац растек-ии тока потенциал эл/стат поля удовл ур-ю (*). Известно, что при протек эл тока в пров-ках выдел-ся тепло, при этом мощ-ть опред-ся з-ном Дж-Ленца и мож быть предст в виде: . Послед соотн-ние распределению потенц-ла в пр-ве став в соотв-вие число P-мощ-ть , т.е. задает функционал на мн-ве . Пусть на пов-ти S задано распред-е потенц-ла . Как должен быть распределен этот потенциал в пров-ке, чтобы мощ-ть была минимальной. Оказ-ся, потери min т и т.т, когда потенциал  удовлет ур-ю (*) при заданом гранич значении. Это утв-ние выраж вариац принцип Дерихле, связаное с ур Лапласа. Замечание: Принцип Дирихле распр-ся и на другие Линейные ДУ нужно построить соот-ий функционал. Аналогично можно пок-ть, что ф-ия минимизирующая функционал dV на множ-ве ф-ий с задан-ми краев-ми услов-ми, есть решения для краевой задачи ур-ия Пуассона.