Вопрос 39)Приближенное построение ф-ии Грина
По
опред-ию G(M,N)=
.
Нужно н-ти такую ф-ию U,
чтобы G=0
на границе обл-ти. Ее можно построить
налож-ем потенц-ов источников расположенных
вне обл V,
кот-ые расположены так, чтобы выпол-сь
усл-ие G|S=0.
Получаем:
+
,
где
-заряды
удов-ие усл-ию G|S=0.
Совмещая точку N
со всеми точками
и приравн-ая резул-ат нулю, получим СЛАУ
отросительно
.
,
где
,
,
m
n.
Для внешней обл-ти в этом случае допол-ые
источники следует располагать внутри
обл-ти V.
Далее все аналогично.
Вопрос 40)ф-ия Грина задачи Неймана,её св-ва
{
= 0;
=
f(
),
M
S}
Построим решение используя
.
Подбираем U
так, чтобы искл-ить второе слагаемое.
Пусть
но такой ф-ии не существует, т.к. должно
выпол-ся усл-ие
,
а в нашем случае
.
Поэтому подберем ф-ию U,
так, чтобы выпол-сь это условие
,
тогда
{U
= 0;
}
ФГ
для ЗН. Св-ва ФГ для ЗН: 1.)
,
при M
N
ф-ия
В точке M=N
эта ф-ия имеет особенность
.
3.)
=
краевое усл-ие на границе области. ФГ
для ЗН определена с точностью до
константы. Подстав-яя ФГ в общее решение,
получим:
.
Вопрос 41)Решение задачи Дирихле для полупространства.
П
усть
V-
верхнее полупространство(z>0),
границей кот-го явл-ся плоскость XY.
ФГ строится единственным дополнительным
источником в точке 1, зеркал-ым отобр-ем
точки M.
Получаем ФГ:
.
Для решения задачи выч-им нормальную
произ-ую на границе:
.
Подставим в решение ЗД, получим: (M)=
При
получим (M)=
инт-ал Пуассона для верх-го полупро-ва.
Вопрос 42)Решение задачи Дирихле для круга
{
= 0; (R,
)
= f(
)
; (r,
)<}
Построим ФГ с помощью ист-ка 1, симмет-го
относит-но точки M
и окруж-ти. Пусть G(M,N)=
.
Найдем
Из подобия треуг-ов OQ1
и OQM
имеем:
=
,
получаем:
-ФГ
для ЗД для круга. Построим решение
(
)
Подстав-яя в решение, получим:
инт-ал Пуассона для круга. Тригоном-ая
форма инт-ла Пуассона для круга
.